二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法
常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间
（3）区间的数轴表示． 5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯
第 1 页 共 10 页
一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取x，x∈D，且x 2 作差f(x)－f(x)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）； ○ 5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○ 1 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调 第 2 页 共 10 页 性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○ 2确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，○ 则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○ 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： 第 3 页 共 10 页 2⑴y?x?2x?15 ⑵ y?x?3?31?(x?1x?12) 2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x??1)?24.函数 ，若f(x)?3，则x= f(x)??x(?1?x?2)?2x(x?2)?5.求下列函数的值域： ⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2] (3)y?x?1?2x (4)y?2?x?4x?5 6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数f(x)，f(2x?1)的解析式 7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。 8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时,f(x)?x(1? f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ⑴ y?x2?2x?3 ⑵y??x?2x?3 ⑶ y?x?6x?1 23x),则当x?(??,0)时f(x)= 210.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论． 11.设函数f(x)?1?x1?x22判断它的奇偶性并且求证： f(1x)??f(x)． 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根， * 其中n>1，且n∈N． ? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0?0。 当n是奇数时，annn?a，当n是偶数时，ann?a?|a|????a(a?0)(a?0) 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： maan?mnnam(a?0,m,n?N,n?1)?1n*， *??1manam(a?0,m,n?N,n?1) 第 4 页 共 10 页
