a0c1c2?cnb1a1b2?bna2?an,bn?b2a2?anb1a1a0c1cn?a2a1b1an?,an?a2a1cn?c2c1bn?b2b1a0c2,c2?c1cna0b2?bn的行列式，称为爪型行列式．这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”或“竖线”，化为三角形行列式再计算． 例7 计算行列式
a0c1D?c2?cnb1a1b2?bna2?an(ai?0(i?1,2,?n))
解 当ai?0(i?1,2,?,n)时，将第i+1列乘以?(列式：
ibia0??caici)(i?1,2,?n)后都加到第1列，得三角型行ainb1?bn0?0a2?0??0?anibi??aj(a0??ca) iD?00?0i?1nnj?1i?1 例8 计算行列式
2?xD?2226结论计算其值． 解
222222?y
2?x222?y22 分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例
2?x?x?x?xD ci?(?1)c1222?x000y000?y
?{(2?x)?[2? 4.2 三对角线型行列式
(?x)(?x)(?x)?2??2?]}?(?x)?y?(?y)?x2y2(?x)y(?y) 5
b1a1c1b2?形如：
a2?cn?2?b3cn?1an?1bn的n阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一
条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式， 称为三对角线型行列式．这类行列式的计算可以直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推，或利用第二数学归纳法证明． 例9 计算n阶行列式
a?b1Dn?aba?b1aba?b???ab1a?b(a?b)
解 按第一行展开得
1Dn?(a?b)Dn?1?ab(?1)1?2aba?b1aba?b???1aba?b?(a?b)Dn?1?abDn?2
变形Dn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2),由于
D1?a?b,D2?(a?b)2?ab?a2?ab?b2，
从而利用上述递推公式得
nDn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2)?b2(Dn?2?aDn?3)???bn?2(D2?aD1)?b
故有
Dn?aDn?1?bn?a(aDn?2?bn?1)?bn?a2Dn?2?abn?1?bn???a 例10 证明
n?1D1?an?22b???abn?1?b?a?ab??abnnn?1n?1?bn
cosa1Dn?12cosa112cosa?1??12cosa112cosa?cosna
解 按第n行展开得
6
cosa1Dn?2cosaDn?1?(?1)n?(n?1)12cosa???112cosa011?2cosaDn?1?Dn?2
采用第二数学归纳法证明
n?1时，D1?cosa，结论成立．设n?k时，结论成立．则当n?k?1时，有
Dk?1?2cosaDk?Dk?1?2cosacoska?cos(k?1)a?cos(k?1)a,
故有归纳假设知Dn?cosna 4.3 Hessenberg型行列式 形如：
a0b1c1a1b2c2?cna2??bnan,anbn??a2b2a1c1,b1a0cn?c2c1a1a0b1,b1a0b2a1c1bnan??a2c2?cna2b2??anbncn?c2的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外, 其余元素全为零的三线型行列式，称为Hessenberg型行列式．这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶． 例11 计算n阶行列式
xDn?an 解 按第一列展开得
?1x?1??x
?1x?a1an?1?a2?1Dn?xDn?1?an(?1)n?1x?1??x于是
?xDn?1?an(?1)n?1(?1)n?1?xDn?1?an ?1Dn?xDn?1?an?(xDn?2?an?1)?an?x2Dn?2?an?1x?an???xD1?a2xn?1n?2??an?1x?an?xn?a1xn?1???an?1x?an
例12 计算n阶行列式
7
123?n?1nDn?1?12?2??n?2?(n?2)n?1?(n?1)
解 将第1,2,?,n?1列加到第n列，得
1223?2??n?1n(n?1)21?1?n?2?(n?2)n?10?n(n?1)(?1)1?n21?12???(n?2)n?1
4.4 两线形行列式
?(?1)1?n(n?1)!2
例13 计算行列式
a10Dn??0bn 解： 按第1列展开得
b1a2?000?b2??0000?
?bn?1?ana2?Dn?a100b2?0???bn(?1)n?10?bn?10?ana10?0bna10?0b2b1a2?000?00?b1a2?00?0b2?0?a1a2?an?(?1)n?1b1b2?bn
??0?bn?100?anb10?,0ana1b1,?0000?an0?00?00??an?1?bn?100?0??b1?a2?00bn0?,0ana10?0bn
结论对于形如：
0?b2??0??00??an?10a2?0?bn?1a2?bn?1an?1?8
