材料刚度习题

例10.1.7 外伸梁受力如图10.1.15（a）所示，M?4kN?m，P?10kN，RA??6kN，RB其它尺寸如图所示。试绘出梁的剪力图和弯矩图。 图10.1.15 解： （1）绘剪力图。根据规律画剪力图时可不考虑力偶的影响。因此，绘其剪力图时，从A点零突变6，从6开始画X轴平行线至B点，向上突变16，在画X轴平行线，最后连D点向下突变10而10.1.15（b））. （2）绘弯矩图从A点零开始，画斜率为6的下斜线至C点，因C点有力偶作用，故弯矩图有突变上逆下”，故向上突变4，在画斜率为6的下斜线至B点，在B点转折，作斜率为10的上斜线至D（图10.1.15（c））。 例10.1.8 外伸梁受力如图10.1.16（a）所示，已知M?16KN?m，q?2kN/m，p?2K力RA?7.2KN，RB?14.8KN，试绘出梁的剪力图和弯矩图，并求距A点4m处截面的剪力和弯解：（1）绘制剪力图。 从A点零开始，向上突变7.2，AC段为x轴的平行线。CB段，剪力图从7.2下斜至B点，斜率为左侧的剪力值为8.8，从8.8向上突变14.8，即到B点右侧。BD段剪力图仍为斜率2的下斜线至DD点有集中力P，故向下突变回到零（图10.1.16（b））。剪力图 7.2?3.62中Q=0的点可由几何关系求得，如：(m)。 （2）绘弯矩图。 AC段弯矩图为一条从零开始的斜率为7.2的上斜线。因C点有力偶，故弯矩图在C点 图 10.1.16 向下突变1.6。CB段剪力图为一条下斜线，故对应的弯矩图为一条从1.6开始的上弯抛物线，对应于Q=0的点，其值可由对应的三角形面积求得 7.2? 3.6?1.6?11.362 B点的值也可由对应的三角形面积求得 8.8? 8?3.6?11.36?82 也可暂不求此值，继续绘图，因B，D点无力偶，故弯矩图直接转折上弯至零，最后利用对应形面积计算该值 (6?2)? 2?82 需要注意，图10.1.16（b）中CB段剪力图能否下斜而过x轴？图10.1.16（c）中的CB段弯矩而过x轴？都可根据图形几何关系预先测算而定。 （3）求距A点4m处截面的剪力和弯矩。 该截面剪力和弯矩可由图中几何关系直接求得。由图10.1.16（b）可知，该截面的剪力 Q?2?1.6?3.2(KN) 由图10.1.16（c）可知，该截面的弯矩 M?11.36?1.6?3.2?8.8(KN?m)2 由上述各例可以看出，绘制剪力图和弯矩图的基本过程为：熟记规律，从左至右，从零开始，标值判定（是否突变），最终回零。 第二节 梁的弯曲强度计算 一 纯弯曲时梁横截面上的正应力 前面对梁弯曲时横截面上的内力进行了分析讨论。为了进行梁的强度计算，还需要进一步研究应力情况。通常梁的横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲。若梁的横截面上只有弯矩则梁的横截面上仅有正应力而无切应力。这种弯曲称为纯弯曲。梁纯弯曲的强度主要决定于截面上切应力居于次要地位。所以这里只讨论梁在纯弯曲时横截面上的正应力。 要想分析正应力的分布规律并计算正应力，先是通过实验，观察其变形，提出假设。在这个基用几何变形，物理和静力学关系，找出变形及其应力的变化规律而推导出应力计算公式。 （一）、实验观察 取一矩形截面直杆，实验前，在梁的侧面上，画上垂直于梁轴的横向线 = 1 \\* ROMAN I－ = 1I和 = 2 \\* ROMAN II－ = 2 \\* ROMAN II及平行于梁轴的纵向线ab和cd，然后在梁的纵向对称平加集中力偶M，使梁产生纯弯曲。如图10.2.1所示。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象1、横向线ac和bd仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度 2、纵向线ab和cd（包括轴线）都变成了弧线。且ab变成a?b?后缩短了，cd变成c?d?后伸长了 3、梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。 图10.2.1 梁的弯曲试验图 10.2.2 梁的中性层 根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： ① 平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。 ② 单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。 可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴。如图10.2.2所示。 （二）、变形的几何关系 由于纯弯曲时，各层纵向纤维受到轴向拉伸和压缩的作用，因此材料的应力和应变的关系应符定律??E? 由上式可知，若搞清应力分布规律，必须搞清应变?的变化规律，为此，将变形后的梁中取一微段来如图10.2.3所示。两截面 = 1 \\* ROMAN I－ = 1 \\* ROMAN I和 = 2 \\* ROMAN II－ = 2 \\* ROMA平行的，现在相互倾斜了一个微小角度d?。图中OO?为中性层，设其曲率半径为?，c?d?到中性层形后中性层纤维长度仍为dX且dX??d?。距中性层为y，则纵向线cd的线应变为： ???cdc?d??cd(??y)d???d?yd?y????cdcd?d??d?? 即梁内任一纵向纤维的线应变ε与它到中性层的距离y成正比。 （三）、变形的物理关系 由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：