最佳分数值逼近（mathematica数学实验报告）

姓名 ### 学院 ###### 班级 ######### 学号 评分 ######### 实验题目 实验目的： 最佳分数值逼近 1、用“连分数展开”的方法计算圆周率?的近似值； 2、通过实验来体会“连分数展开”的方法与其他方法的区别，比较各种方法的优劣； 3、尝试用“连分数展开”的方法对其他的数进行展开。 实验环境： 学校机房，Mathematica4.0软件 实验基本理论和方法： 1、Mathematica中常用的展开数与多项式的函数的使用； 2、计算圆周率?“连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数。 实验内容和步骤： （一）多项式的展开与化简 多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematica提供一组按不同形式表示代数式的函数。如： 1、 对x12?1进行分解，使用的函数为Factor： （x+y+7），使用的函数为Expand: （x+2）与2、 展开多项式75 3、 化简(x?1)^4(x?2)^(x?3)与(x?1)^3(x?2)^4(x?3)^(x?1)，使用的函数为Pimplify: 4、 连个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加， Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返回商式和余式： （二）?的连分数展开 ?的求解方法之前我们已经有许多种，但都比较繁琐而且误差较大，如何找到误差较小的?的近似值求解方法，我们在所得整数3的基础上进行分析，有了整数3，则?=3+x1，其中x1?0.141592653579...是3的误差，0?x1?1。只要能找到x1的最佳分数逼近值，再加3就得到?的最佳分数近似值。从而我们使用一种方法“连分数展开“，其原理是： 为了寻找与x1接近的分数，先找与A1?接近的整数，显然 是7.于是??3?1A1?3?17?2271x1?7.062513305931...，这是祖冲之的效率。 227 在此基础上，我们可以再用上述方法，要找到比误差更小的分数近似值，只需要找到比整数7更接近A1的分数来作为A1的近似值。由于A1?7?x2，其中0?x2?0.062513305931...?1。先找A2?1x2?15.996594406685...的最佳整数近似值，显然是16.于是A1?7?1A2?7?116?11316，从而??3?1A1?3?17?1A2?3?17?116?355113，这就得到祖冲之的密度。 如果还要进一步提高精确度，就应当在考虑A2的整数近似值16的误差x3?16?A2?0.003405593314...，取A3?1x3?293.6345910144...的整数近似值294，则可得到?的更好的近似值3?7?1116?1294。将这样的过程无限的进行下去，得到的?的越来越精确的近似值。 对于 的连续分式的5项，Mathematics程序运行如下，得到的近似值为3.14159，精确度为小数点后5位。 （三）其他一些数的连分数展开 1、有理数 2、二次无理数 (循环连续分式）