C．8π＋6 D．10π＋6
【解析】 (1)由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC＝2，所以
PC＝22＋22＝22，又AB＝22，所以S△PBC＝S△PAB＝×2×22＝
1
22，S△ABC＝S△PAC＝×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋42.
2
(2)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为11122
2××4π×1＋2××π×1＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6. 222
【答案】 (1)B (2)C
求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．
命题角度二 空间几何体的体积
(1)(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则
该几何体的体积为( )
1A. 2C.3 3
B.2 2
12
2D. 3
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．
【解析】 (1)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1-BB1C1和一个三棱锥C-BC1D后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥
D-ABC1D1，四棱锥D-ABC1D1的底面积为S四边形ABC1D1＝2×2＝22，高h＝
h＝×22×
13
22
＝.故选D. 23
21，其体积V＝S四23
边形ABCD11
(2)由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积12
为8，得l＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以
2
SO＝l＝2，AO＝
123
l＝23. 2
1122
故该圆锥的体积V＝π×AO×SO＝π×(23)×2＝8π.
33【答案】 (1)D (2)8π
求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．
[对点训练]
1．(2018·洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )
2π
A．8－
3πC．8－
3
πB．4－
32πD．4－
3
解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆
12π32
锥后剩余的部分，其体积为2－2××π×1×1＝8－.故选A.
33
2．(2018·唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．3 C．7
B.D.11
323 3
解析：选B.由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几1
何体，长方体的长，宽，高分别为2，1，2，体积为4，切去的三棱锥的体积为，故该几何
3111
体的体积V＝4－＝.故选B.
33
多面体与球(综合型)
[典型例题]
命题角度一 外接球
(2018·南宁模拟)三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )
A.27
π 2
B.273
π 2
C．273π D．27π
【解析】 因为三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC.因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球．因为正方体的体对33222
角线长为3＋3＋3＝33，所以其外接球半径R＝.因此三棱锥
24π?33?3273
P-ABC的外接球的体积V＝×??＝2π，故选B.
3?2?
【答案】 B
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
命题角度二 内切球
已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三
7
棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三
8棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )
A.C.7π 62π 3
B.D.4π 3π 2
7
【解析】 当注入水的体积是该三棱锥体积的时，设水面上方的小三棱锥的棱长为
826?x?1
x(各棱长都相等)，依题意，??＝，得x＝2.易得小三棱锥的高为，设小球半径为r，
3?4?8126162π2
则S底面·＝4··S底面·r，得r＝，故小球的表面积S＝4πr＝.故选C. 33363
【答案】 C
求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．
命题角度三 与球有关的最值问题
(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△
3
ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A．123 C．243
B．183 D．543
【解析】 如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝
3222
AB＝93，所以AB＝6，BM＝BE＝AB2－AE2＝23.易知OM⊥平面ABC，所433
2
2
以在Rt△OBM中，OM＝OB－BM＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥
D-ABC的体积取得最大值，且最大值Vmax＝S△ABC×(4＋OM)＝×93×6＝183.故选B.
1
313
