双桥子校区 初二数学 张老师 415教室 12份 2016、8、12
第十五讲 一次函数的应用
张老师
一、知识精讲
1、直线?1: y=k1x?b1 直线?2:y=k2x?b2
?y?k1x?b1?kk时，?与?相交，有唯一公共点，则方程组?y?k2x?b2有唯一解 12 (1)、当1≠2组没有解 （2）、当k1?k2且b1?b2时，?1∥?2，这时?1与?2没有公共点，所以方程?1与?2有无数个公共点，方程组有无数个解。 (3)、当k1?k2且b1?b2时，?1与?2重合，这时2、一次函数图像的平移、图像和坐标轴围成的三角形的面积
（1）一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）?个单位得到一次函数
y=kx+b±m；
（2）一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、?右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数
y=k（x±n）+b；
（3）一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；
b（4）直线y=kx+b与x轴交点为（－k，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与
坐标原点构成的三角形面积为S△=
※例1、如图正方形ABCD的边长为4,将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB边落在X轴的正半轴上,且A点的坐标是(1,0)? ①直线
y?48x?33经过点C,且与x轴交与点E,求四边形AECD的面积;
②若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l的解析式,
③若直线l1经过点F?0,5?且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移2个单位交x轴于点P,交直线l1于点Q,求?PQF的面积.
4l:y??x?43例3、如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，将
△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′ （1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积。
2y1??x?23例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2?kx?b (k?0)经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO
分成两部分．
（1）求△ABO的面积；
（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达
式。 y
y1BOCy2PAx例3、如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y??1x?b交折线OAB于点E. 2（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，DE=5，试探究四边形
O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，
若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。
三、同步练习
?x?3y?1?1．如果二元一次方程组?ax?by?3有无数个解，则a? ；b?
2．如果2004xm?n?1?2005y2m?3n?4?2006是二元一次方程，那么m2?n3的值是 ．
3．已知:直线l1：y?2x?2与直线l2：y??x?4交于点P,直线l1与y轴交于点A，直线l2与X轴交于点B，则由三点P、A、B围成的三角形的面积为 .
4．直线y??4x?8向左平移3个单位长度后再沿X轴对折所得的直线的解析式为 5.已知直线l1：
6. 在直角坐标系内有两点A（?2，1），B（1，3），若M为x轴上一点，当MA+MB最小时，求点M的坐标
7、如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线y??y?1x?m2与坐标轴围成的三角形面积为8，则直线l1的解析式为
3x?2交x、y轴分别为点B、点3C，A点在原点，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是
△AA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，?，则
△B2013A2014B2014的面积为 ．
8、.在平面直角坐标系中，把直线y??3x沿y轴平移后得到直线AB，如果点A(a,b)是直线AB上的一点，且有a??b?1，那么直线AB的函数表达式为 ．
9、两个关于x、y的一次函数y?5ax?2b和y?3ax?2b的图象的交点坐标为(1，-4)，则a= ，b= ．
10在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B从O点开始，在x轴上沿x轴正半轴向
13右运动,以线段AB为一边作等边三角形ABC使点C在第一象限.当B在原点O处，记此时的C点位置为点D. （1）求点D坐标；（3分） （2）求证：点B在运动过程中（B不与O重合），∠ADC的值始终为90°；（3分）
（3）当C点关于AB的对称点E在坐标轴上时，请求出点E的坐标（4分）
11、.如图1，正方形ABCD在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A、D在x轴上，点B的坐标为(3,33)，点F在AD上，且AF=3，过点F且平行于y轴的线段EF与BC交于点E，现将正方形一角折叠，使顶点B落在EF上，并与EF上的点G重合，折痕为HI，且知EG=3， H(5,33)。点J为折痕HI所在的直线与x轴的交点。
（1）求折痕HI所在直线的函数表达式；（3分） （2）若点P在线段HI上，当△PGI为等腰三角形时，请求出点P的坐标，并写出解答过程。（4分）
（3）①如图2，在y轴上有一点Q，其坐标为
(0,?2k)，作直线JQ，另有一直线y?kkx?，22两直线交于点S，请证明点S在正方形ABCD的AB边所在直线上；（2分）
kkx?上有一点R的22QS?QR横坐标为-1，那么请问的值为定值
JS②在①中，在直线y?吗？若是定值则求出其值，若不是则说明理由．（3分）
图1
