⑵结合适当的初等行变换，将?转化成阶梯型。 ⑶对应得到阶梯形方程组，继而解得。 例 （用消元法）求解线性方程组
?x1?x2?2x3?x4?3??x1?2x2?x3?x4?2 ?2x?x?5x?4x?734?12解 对该增广矩阵作适当地初等变换，具体如下
?11213??11213???r2?r1?????121?12??????01?1?2?1r3?2r1??
?21547??0?1121??????11213??10334??r1?r2??r3?r2??????01?1?2?1?????01?1?2?1????
?00000??00000????????????????2?n?5
? 方程组有无穷多个解（依据判定方法可知）
?x1?4?3x3?3x4则可解得 ?，（x3,x4为自由未知量）。
x??1?x?2x34?24. 延拓
以下不妨从综合运用的角度来对线性方程组作进一步地探讨，不难发现，该理论在一定程度上具有相对的实用性。比方说，用于解决一些代数问题或是几何问题，甚至于和实际生活运用相接轨。 4.1（在代数中的应用）
在代数中，线性方程组思想方法对于一些问题具有一定的帮助，就比如说矩阵的求逆。
?111???例如 已知D??2?11?,求D?1。
?120???（方法提要：不妨将矩阵求逆转换成线性方程组求解的问题） 解析 令所要求的可逆矩阵D?1?????1 ，?2 ，?3?，
9
根据DD?1?? 可知而它满足D???；
?1??0??0???????即可分解成几个线性方程组D?1??0?，D?2??1?，D?3??0?的形式，
?0??0??1???????运用线性方程组求解方法分别解得
?1??1??1??2??2??2???????111??1????，?2????，?3??；
?4??4??4???????513???????????????4??4??4?综上,解得
?1?2?1D?1????4?5???4121?41?41?2??1??? ?4?3???4?4.2（几何应用）
例 要使得平面上三点?1?x1,y1?，?2?x2,y2?，?3?x3,y3?在同一条直线上，则需满足什么条件？
a,b,c不全为零）分析 ∵三点位于平面上同一条直线上（不妨令直线为ax?by?c?0，
故三点坐标满足齐次线性方程组
?ax1?by1?c?0??ax2?by2?c?0 ?ax?by?c?03?3从而有以?,Y,?为未知量的方程组
??x1?Yy1???0???x2?Yy2???0 ??x?Yy???03?3存在非零解 ??a,Y?b,Z?c； 由线性方程组解的判定方法可知：
10
??x1?齐次线性方程组有非零解 ? 秩???x2??x??3y11???； y21????n?3（n为未知量的个数）
?y31???y11???y21????n?3条件下共线。
?y31?????x1?∴平面上三点?i?xi,yi?（i?1,2,3）在秩???x2??x??3结合上述例子可知，看似抽象的几何问题可以运用线性方程组理论来解决。因此，具体操作时，像有关平面直线或空间平面中位置关系的问题，不妨尝试从线性方程组的角度来思考，往往更为简单明了。 4.3（解决实际问题）
例 下表反映了三种不同化肥A、B、C中所含各元素的量(kg)：
A B C 氮 70 64 70 钾 2 0.6 1.4 磷 8 10 5 若当前总混合量为23kg,且含钾30kg、磷149kg,问：化肥A、B、C各需多少kg? 解析 设需A、B、C各 a,b,c kg； 根据题意可用线性方程组表示为
?a?b?c?23??8a?10b?5z?149 ?2a?0.6b?1.4z?30?2781?0；?1?149105??， 其系数行列式 ??8105??5520.61.4300.61.412233011.4111023149??81； 301112311?2?81495??27，?3?820.6可以解得该方程组的唯一的解为
a???1??3，b?2?5,c?3?15； ???所以，A需要3kg，B需要5kg，C需要15kg。
11
除此之外，实际生活中还存在很多类似的例子，往往也可以结合线性方程组求解问题的相关理论来进行处理。
小结 关于线性方程组的求解问题始终贯穿于整个线性代数，无论从它的判定，还是
求解方法来说，都具有非常重要的意义。关于它的方法以上则总结了一些较为典型的方法供参考，每个方法有每个方法的优势。那么，具体应用则需结合实际情况而定，这是我们在解题中应当值得注意的。此外，线性方程组的实用性较强且知识融汇面广，如以上所涉及的代数、几何以及实际问题解决等方面。因此，掌握好线性方程组的相关内容，对于我们在各方面的探究也有很大的帮助。
参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2000.9. [2]陈振宜.中国初中生数学解题方法大全[M].上海：上海远东出版社，2000.6. [3]陈维新.线性代数[M].北京：科学出版社，2000.2.
[4]胡适耕,刘先忠.高等代数：定理·问题·方法[M].北京：科学出版社，2007.1.
[5]李排昌,左萍.行列式与线性方程组[J].中国人民公安大学学报(自然科学版)，2010,Vol.1, P100-P102.
[6]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2009.10.
[7]徐智文.求逆矩阵的若干方法和举例[J].甘肃林业职业技术学院学报，2005年七月,Vol.5, P29-P32.
[8]于明刚,徐善从.通俗线性代数[M].济南：山东教育出版社，1986.9. [9]朱长青,姚红.线性代数学习与解题分析指导[M].北京：科学出版社，2000.1. [10]赵建丽.三元线性方程组解得判别与求解[J].中国科教创新导刊，2010,Vol.26, P89.
Exploration and Applications on the Problem of Linear
Equations’ solving
Name:Tong Wanping Student number: 200740510636 Advisor: Ge Xintong
Abstract Linear equations is the kernel problem of linear algebra .About its solving problem, from
judging to solution ,the methods and thinkings which are contained ,are flexible and varied. This paper
12
is mainly focused on the exploration of methods. Based on some aspects of the linear equations’ solving problem, we conclude the main methods systematically and combine with several aspects to extend. Such as attribute and practical algebra and geometry. In order to deepen the understanding of linear equations’ solving problem.
Keywords linear equations; homogeneous linear equations; nonhomogeneous linear equations; determinant; matrix; rank
13
