北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
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1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x≤4}，则A∩B=（） A． {0，1} B． {0，1，2} C． {x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}
2．（5分）在复平面内，复数 A． 第一象限
对应的点位于（）
C． 第三象限
D．第四象限
B． 第二象限
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3．（5分）（文）若a∈R，则“a＞a”是“a＞1”的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a9=4，则S11等于（） A． 12 B． 18 C． 22 D．44 5．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A． 6
B． 8
C． 14
D．30
6．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）
A．
C．
B． D．
7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）
A． B．
C．
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D．
8．（5分）已知圆O：x+y=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（） A． [0，1]
B．
C．
D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
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9．（5分）若抛物线y=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为． [来源:学§科§网]
10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为．
11．（5分）在△ABC中，a=3，
，B=60°，则c=；△ABC的面积为．
12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=．
13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=． 14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知函数
部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式； （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移（x）在区间
个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g
上的最大值和最小值．
16．（13分）已知数列{an}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{bn﹣2an}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn． 17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求
的值．
18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（3）若存在x∈[，e]，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．
19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|+|PB|为定值．
20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai﹣ai+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012． （ⅰ）求a，b； （ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．
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北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x≤4}，则A∩B=（） A． {0，1} B． {0，1，2} C． {x|0≤x＜2}
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D．{x|0≤x≤2}
