函数的极值及其应用
3 二元函数的极值理论及其应用
3.1 二元函数极值的定义与判别条件
定义3.1[5] 设函数z?f(x,y)在点P如果对在此邻域0(x0,y0)的某个邻域内有定义，内除点P0(x0,y0)外的任意点P(x,y)
均有f(x,y)?f(x0,y0)（或f(x,y)?f(x0,y0)），则称点P0(x0,y0)为函数z?f(x,y)的极大值点（或极小值点）.f(x0,y0)称为极大值（或极小值）,极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
注1使fx(x,y)?0,fy(x,y)?0同时成立的点(x,y)称为函数z?f(x,y)的驻点. 由二元函数极值的定义可以看出,函数的极大,极小问题是一个“局部性”的问题,也就是说,函数在点处取到极大值,这个“极大”只管到这一点周围很小的范围内,即只有在这个范围内,函数值才是最大的.
比如说对于函数f(x,y)?x2?y2?1,对任意(x,y)?(0,0)有f(x,y)?1?f?0,0?,所以函数z?f(x,y)?x2?y2?1在(0,0)处取得极小值f?0,0??1.
又如 f(x,y)?1?x2?y2,对任意(x,y)?(0,0)有f(x,y)?1?f?0,0?,所以函数
z?f(x,y)?1?x2?y2在(0,0)处取得极大值f(0,0)?1.
那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论,我们有如下结论:
3.1.1 二元函数极值存在的必要条件
定理3.1[6] 设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义,且存在一阶偏导数,如果P0(x0,y0)是极值点,则必有 fx(x0,y0)?0, fy(x0,y0)?0.
注2 可导函数的极值点必定为驻点,但是函数z?f(x,y)的驻点却不一定是极值点.另外,极值点也可能是偏导数不存在的点,例如,上半锥面z?x2?y2在点?0,0?的偏导
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数不存在,但?0,0?是函数的极小值点,函数极小值为0.
3.1.2 二元函数极值存在的充分条件
定理3.2[7] 设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,
且P0(x0,y0)是驻点.令A?fxx(x0,y0),B?fxy(x0,y0),C?fyy(x0,y0),则
①当B2?AC?0时,点P0(x0,y0)是极值点,且当A?0时,点P0(x0,y0)是极大值点;当A?0时,点P0(x0,y0)是极小值点;
②当B2?AC?0时,点P0(x0,y0)不是极值点;
③当B2?AC?0时,点P0(x0,y0)有可能是极值点也可能不是极值点. 3.2 二元函数极值的求解方法
3.2.1 无条件极值问题 无条件极值的求法:
根据二元函数极值的必要条件和充分条件,若函数z?f?x,y?的二阶偏导数连续,则可按照下列步骤求二元函数的极值:
(1)求偏导数fx,fy
??fx(x,y)?0解方程组?求出所有驻点?x1,y1?,?x2,y2?......?xn,yn?.
f(x,y)?0??y(2)对于每一个驻点?xi,yi??i?1,2,...n?,求出二阶偏导数的值A,B,C. (3)确定??B2?AC的符号,判定是否是极值,是极大值还是极小值.
(4)考察函数是否有导数不存在的点,若是有的话,则需要加以判别是否为极值点. 例3.1 求函数z?x2?xy?y2?2x?y的极值.
??zx?2x?y?2?0解 由方程组?解得驻点(1,0) ,又 zxx?2,zxy??1 zyy?2,故
z??x?2y?1?0??y在点(1,0)处,A?2,B??1,C?2从而B2?AC??3?0,A?2?0所以函数在点(1,0)处取得极小值z(1,0)??1.
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例3.2 求函数f(x,y)?ex?y(x2?2y2)的极值. 解 （1）求驻点
x?y22x?y??fx(x,y)?e(x?2y)?2xe?0由 ?x?y22x?yf(x,y)??e(x?2y)?4ye?0?y?,得两个驻点 ?0,0?,??4,?2?,
（2）求f(x,y)的二阶偏导数
fxx(x,y)?ex?y(x2?2y2?4x?2) ,
fxy(x,y)?ex?y(2y2?x2?2x?4y), fyy(x,y)?ex?y(x2?2y2?8y?4),
（3）讨论驻点是否为极值点
在?0,0?处,有A?2 B?0,C??4,B2?A2?8?0,由极值的充分条件知?0,0?不是极值点,f?0,0??0不是函数的极值;
在??4,?2?处,有A??6e?2,B?8e?2,C??12e?2,B2?AC??8e?4?0,而A?0,由极值的充分条件知??4,?2?为极大值点,f(?4,?2)?8e?2是函数的极大值.
3.2.2 条件极值问题与拉格朗日乘数法
求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时,对自变量的取值往往要附加一定的约束条件,这类附有约束条件的极值问题,称为条件极值.
引例 若求函数z?x2?y2在条件x?y?1下极值,这时自变量受到约束,不能在整个函数定义域上求极值,而只能在定义域的一部分x?y?1的直线上求极值,前者只要求变量在定义域内变化,而没有其他附加条件称为无条件极值,后者自变量受到条件的约束,称为条件极值.
如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值,如上例从条件中解出
y?1?x,代入z?x2?y2中,z?x2?(1?x)2?2x2?2x?1成为一元函数极值问题令
z?x?4x?2?0,得x?1111,求出极值为z(,)?. 2222但是在很多情形下,将条件极值化为无条件极值并不这样简单,我们另有一种直接寻求条件极值的方法,可不必先把问题化为无条件极值的问题,这就是下面介绍的拉格朗
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日乘数法.利用一元函数取得极值的必要条件. 拉格朗日乘数法[8]:
求函数z?f(x,y)在条件?(x,y)?0下的可能的极值 （1）构成辅助函数
F(x,y)?f(x,y)???(x,y),（?为常数） （2）求函数F对x,对y的偏导数,并使之为零,解方程组
?fx(x,y)???x(x,y)?0??fy(x,y)???y(x,y)?0 ???(x,y)?0得x,y,?,其中x,y就是函数在条件?(x,y)?0下的可能极值点的坐标;
（3）如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定.
例3.3 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告,收入R万元与电视广告费x万元及报纸广告费y万元之间的关系为:
R?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2.
（1）在广告费用不限的情况下,求最佳广告策略;
（2）若提供的广告费用为总额1.5万元,求相应最佳广告策略.
解 （1） 利润函数为
L(x,y)?R?(x?y)?15?13x?31y?8xy?2x2?10y2,
求函数L的各个偏导数,并令它们为0,得方程组:
?L??13?8y?4x?0.??x ??L???y?31?8x?20y?0.解得x?0.75,y?1.25.则(0.75,1.25)为L(x,y)惟一的驻点.
又由题意,L(x,y)连续且一定存在最大值,故最大值必在这惟一的驻点处达到.所以最大利润为L(0.75,1.25)?39.25万元.
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