函数的极值及其应用
4.3n元函数极值的相关应用---------------------------------------------18 4.3.1最大值或最小值在实际问题中的应用 4.3.2函数在约束条件下的最值问题的应用 4.3.3极值理论在生产销售中的应用 4.3.4 多元函数的极值在数学中的其他应用
5 结论-------------------------------------------------------------------22 参考文献-----------------------------------------------------------------23 致谢---------------------------------------------------------- -----------24
函数的极值及其应用
1 前言
极端是数学的常态,所以极值问题是数学中最有魅力的一部分, 也是数学中最有魅力的一部分，在初等数学中，我们主要用二次函数的性质、不等式、三角函数的有界性等探讨极值、最值问题．而在高等数学中，则利用导数来解决其一系列问题，运用导数知识解题简捷且通用性强，运用起来极其方便.有人说:数学能告诉我们,多样的背后存在统一,极端才是和谐的源泉和基础.
对于极值理论的研究，费马在1629年就获得了求函数极值的法则，给出了求函数的极大值、极小值的方法，费马这些成果对后来微积分的建立产生了深远的影响．他的这项工作极大地鼓舞了高斯、泊松、柯西、雅克比等人，使他们在这方面进一步做了很多工作．
作为函数性质的一个重要分支和基本工具,极值理论都有广泛的应用,无论是在科学研究,还是在实际工程,运筹规划,经济管理中,经常要解决怎样使投入量最少,产出最多,效益最高等问题.这些经济和生活问题通常可以转化为数学中的函数问题来探讨,进而转化为求函数中极大值、极小值的问题.由此可见,研究函数的极值,是学习数学与其它学科的理论基础,是生活生产中的必备工具.正是由于函数极值理论在实际生活中应用广泛,然而涉及函数极值理论的文献相当多但过于分散,给初学者带来了很大的不便,已经证明了的理论给出的典型例题还不够,需要加以完善,因此对函数极值理论的研究显得尤为重要.本文先后介绍了一元函数、二元函数、和n元函数的极值理论以及它们在社会生产和生活实践中的应用,帮助大家抓住函数极值理论的关键所在,另外又配有相应的典型例题,可以使读者少走弯路提高效率,提高他们学习数学的兴趣,进而开阔视野,达到举一反三的效果.
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函数的极值及其应用
2 一元函数的极值理论及其应用
2.1 一元函数极值的定义与判别条件
定义2.1[1] 若函数f在x0的某邻域U?x0?对一切x?U?x0?有f(x0)?f?x?
（f(x0)?f?x?）,则称函数f在点x0取得极大（小）值,称点x0为极大(小)值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.
2.1.1 一元函数极值的必要条件
定理2.1[2]（费马定理） 设函数f在点x0的某邻域上有定义,且在点x0可导.若点x0为f的极值点,则必有f??x0??0.
费马定理的几何意义非常明确:若函数f?x?在极值点x?x0可导,那么在该点的切线平行于x轴.我们称满足方程f??x??0的点为稳定点.对于函数f?x??x3,点x?0是稳定点,但却不是极值点.这就是说可导函数在点x0取极值的必要条件是f??x0??0.
极值反映函数的局部性质，由极值的必要条件可知,若画出函数的图像,则极大值对应着函数图像的峰值,而极小值则对应着函数图像的谷值,并且在函数图像取得极值点处,曲线上的切线是水平的,而在某处曲线具有水平切线上,函数并不一定取得极值.
注1 函数在一个区间中的极大值和极小值不做比较,在一个区间中极小值有可能比极大值大.
注2 函数在一个区间中的极值点并不唯一,可以有无数个.
注3 f??x0??0的点并不一定是极值点,可导的极值点一定是稳定点,极值点一定是稳定点或不可导点.
例2.1 函数f?x?=xsin12，x??0,1?.则xn? (n?1,2,3……)都是f?x?x?2n?1??的极值点,当n为偶数时xn为极大值点,当n为奇数时xn为极小值点.
2.1.2 一元函数极值的充分条件
定理2.2[3] （极值的第一充分条件）设f在点x0连续,在某邻域U0?x0;??上可导.
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（ⅰ）若当x??x0??,x0?时f??x??0,当x??x0,x0???时,f??x??0, 则f在点x0取得极小值.
（ⅱ）若当x??x0??,x0?时,f??x??0,当x??x0,x0???时f??x??0,则f在点x0取得极大值.
定理 2.3[4] （极值的第二充分条件）设f在x0的某邻域U?x0;??上一阶可导,在
x?x0处二阶可导,且
f??x0??0,f???x0??0.
（ⅰ）若f???x0??0,则f在x0取得极大值. （ⅱ）若f???x0??0,则f在x0取得极小值.
定理2.4[2,3,4] （极值的第三充分条件）设f在x0的某邻域内存在直到n?1阶导函数,
k在x0处n阶可导,且f???x0??0?k?1,2,,n?1?,f?n??x0??0,则
（ⅰ）当n为偶数时,f在x0取得极值,且当f?n??x0??0时取极大值,f?n??x0??0时取极小值;
（ⅱ）当n为奇数时,f在x0处不取极值. 2.2 一元函数极值的求解步骤 第一充分条件求极值的步骤:
(1)求函数f?x?的定义域. (2)求出f??x?的表达式.
(3)求出f?x?的全部驻点（即求出方程f??x?=0在所讨论的区间内的全部实根）和
f??x?不存在的点.
(4)考察f??x?在每个驻点及不可导点的左右邻近的符号,根据第一充分条件确定这些点是否是极值点,如果是极值点进一步判断是极大值点还是极小值点.
(5)把极值点代入f?x?求出极值. 例2.2 求函数f?x?=4?x?1?的极值.
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