潍坊学院计算机系（院）讲稿专用纸
第十章 群与环
10.1 群的定义及性质
一．群的定义及术语
定义10.1
(1)设V= >是半群,若e∈S是关于 运算的单位元,则称V是含幺半群,,e>. 运算是可结合的,存在单 >是代数系统, 为二元运算,如果 运算是可结合的,则称V 也叫做独异点。有时也将独异点V记作V= (3) 设 >是代数系统, 为二元运算。如果 位元e∈G,并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群。 例10.1 (1) (2)设n是大于1的正整数, * *A+ + >为半群,也是独异点和群,其中为集合的对乘差运算。 为模n加 >为半群,也是独异点和群,其中Zn={0,1,…,n-1}, >为半群,也是独异点,其中 * 为函数的复合运算。 运算定义如下： x,y∈ >为半群,其中R为非零实数集合, y=y 例10.2 设G={a,b,c,d},·为G上的二元运算,它由表10.1给出,不难证明G是一个群。由表中可以看出G的运算具有以下的特点：e为G中的单位元；运算是可交换的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。称这个群为Klein四元群,简称四元群。 潍坊学院计算机系（院）讲稿专用纸 表10.1 定义10.2 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶,有限群G的阶记作|G|. (2)只含单位元的群称为平凡群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群。 >是有限群,也是n阶群。Klein四元群是4阶群。 <{0},+>是平凡群。上述所有的群都是交换群,但n阶(n≥2)实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群,因为矩阵乘法不满足交换律。 定义10.3 设G是群,a∈G,n∈Z,则a的n次幂。 与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。 例如在 >中有 2=(2)=1=1 -5 -15 5-3 -13 3 11=0, 而在 定义10.4设G是群,a∈G,使得等式 a=e成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|=k,这时也称a为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。 例如 >中,2和4是3阶元,3是2阶元,而1和5是6阶元,0是1阶元。 k 而在 潍坊学院计算机系（院）讲稿专用纸 定理10.1 设G为群,则G中的幂运算满足： (1) (2) (3) (4) a∈G,(a)=a. a,b∈G,(ab)=ba. a∈G,aa=a,n,m∈Z. a∈G,(a)=a,n,m∈Z. n nn nm nm nm n+m-1 -1-1 -1-1 (5)若G为交换群,则(ab)=ab. 定理10.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即 注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。如果G是非交换群,那么只有 2．群方程存在唯一解 定理10.2 G为群, a,b∈G,方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解。 >,其中,Y 为集合的对称差运算。解下列群方程： 例10.3 设群G= -1 X={a,b}={b} ={a}{a,b}={b} -1 ={a} {a,b}={a} Y={b}3．消去律 定理10.3 G为群,则G中适合消去律,即对任意a,b,c∈G 有 (1)若ab=ac,则b=c.(2)若ba=ca,则b=c. 例10.4 设G为群,a,b∈G,且 (ab)=ab证明 ab=ba. 证 由(ab)=ab得 abab=aabb 根据群中的消去律得ba=ab,即ab=ba. 4．群中元素的阶的性质 2 22 2 22 潍坊学院计算机系（院）讲稿专用纸 定理10.4 G为群,a∈G且|a|=r。设k是整数,则 (1) a=e当且仅当r|k (2) |a|=|a| 证 (1)充分性。由于r|k,必存在整数m使得k=mr,所以有 ak=amr=(ar)m=em=e。 必要性。根据除法,存在整数m和i使得k=mr+i,0≤i≤r-1 从而有e=ak=amr+i=(ar)mai=eai=ai 因为|a|=r,必有i=0。这就证明了r|k。 (2) 由(a-1)r=(ar)-1=e-1=e 可知a的阶存在。令|a|=t,根据上面的证明有t|r。这说明a的逆元的阶是a的阶的因子。而a又是a的逆元,所以a的阶也是a的阶的因子,故有r|t。从而证明了r=t,即|a|=|a|。 例10.5设G是群,a,b∈G是有限阶元。证明 (1)|bab|=|a| (2)|ab|=|ba| 证 (1)设|a|=r,|b-1ab|=t,则有 根据定理10.4得t|r. 另一方面,由 a=b(bab)b=(b)(bab)b -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1 k 可知, (b)(bab)b的阶是bab -1-1-1-1-1 的阶的因子,即r|t。从而有|bab|=|a|。 (2) 设|ab|=r,|ba|=t,则有 t 由消去律得(ab)=e,从而可知,r|t. 同理可证t|r。因此|ab|=|ba|。 例10.6设G为有限群,则G中阶大于2的元素有偶数个。 证 根据定理10.4可知,对于任意a∈G有a=e若a=e,则有 aa=ae，即 a=a. 反之,若a=a-1,则有 a2=aa=aa-1=e，这就推出a2=e a=a-1. 2 -12 -1 -1 2 |a|=1或|a|=2 综合上述可知,对G中阶大于2的元素a,必有a≠a-1。又由于|a|=|a-1|,所以G中阶大于2的元素一定成对出现。G中若含有阶大于2的元素,一定是偶数个。若G中不含阶大于2的元素,而0也是偶数。
