六、分析与总结
本文设计了一种基于MATLAB实现的蚁群算法，用以求解组合优化难题中的典型代表旅行商问题。对30个城市旅行商问题进行了测试，所得结果能达到优化作用，实现了本文的研究目标。
经过对旅行商问题的深入理解，得到了能解决问题的基本数学模型，然后设计算法的基本思想，技术路线，最后编码。在多次调试，修改后，本算法成功运行，并实现了最初的设定目标。另外，MATLAB具有丰富的绘图函数，对于绘图十分方便，这是选择MATLAB解决TSP问题的算法编写、调试的原因。
蚁群算法研究处于初期，还有许多问题值得研究，如算法的参数选择、蚂蚁数的比例等只能通过仿真实验，无法给出理论指导。
附 录：
蚁群算法解决旅行商问题MATLAB程序
function yy=ACATSP
x=[41 37 54 25 7 2 68 71 54 83 64 18 22 83 91 25 24 58 71 74 87 18 13 82 62 58 45 41 44 4]';
y=[94 84 67 62 64 99 58 44 62 69 60 54 60 46 38 38 42 69 71 78 76 40 40 7 32 35 21 26 35 50]'; C=[x y]; NC_max=50; m=30;
Alpha=1.5; Beta=2; Rho=0.1; Q=10^6;
%%-------------------------------------------------------------------------
%% 主要符号说明
%% C n个城市的坐标，n×2的矩阵 %% NC_max 最大迭代次数 %% m 蚂蚁个数
%% Alpha 表征信息素重要程度的参数 %% Beta 表征启发式因子重要程度的参数 %% Rho 信息素蒸发系数 %% Q 信息素增加强度系数 %% R_best 各代最佳路线
%% L_best 各代最佳路线的长度
%%=========================================================================
%%第一步：变量初始化
n=size(C,1);%n表示问题的规模（城市个数） D=zeros(n,n);%D表示完全图的赋权邻接矩阵 for i=1:n
for j=1:n if i~=j
D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5; else
D(i,j)=eps; %i=j时不计算，应该为0，但后面的启发因子要取倒数，用eps（浮点相对精度）表示 end
D(j,i)=D(i,j); %对称矩阵 end end
Eta=1./D; %Eta为启发因子，这里设为距离的倒数 Tau=ones(n,n); %Tau为信息素矩阵
Tabu=zeros(m,n); %存储并记录路径的生成
NC=1; %迭代计数器，记录迭代次数 R_best=zeros(NC_max,n); %各代最佳路线
L_best=inf.*ones(NC_max,1); %各代最佳路线的长度 L_ave=zeros(NC_max,1); %各代路线的平均长度
while NC<=NC_max %停止条件之一：达到最大迭代次数，停止 %%第二步：将m只蚂蚁放到n个城市上 Randpos=[]; %随即存取 for i=1:(ceil(m/n))
Randpos=[Randpos,randperm(n)]; end
Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))';
%%第三步：m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游 for j=2:n %所在城市不计算 for i=1:m
visited=Tabu(i,1:(j-1)); %记录已访问的城市，避免重复访问 J=zeros(1,(n-j+1)); %待访问的城市
P=J; %待访问城市的选择概率分布 Jc=1; for k=1:n
if length(find(visited==k))==0 %开始时置0 J(Jc)=k;
Jc=Jc+1; %访问的城市个数自加1 end end
%下面计算待选城市的概率分布 for k=1:length(J)
P(k)=(Tau(visited(end),J(k))^Alpha)*(Eta(visited(end),J(k))^Beta);
end
P=P/(sum(P));
%按概率原则选取下一个城市
Pcum=cumsum(P); %cumsum，元素累加即求和
Select=find(Pcum>=rand); %若计算的概率大于原来的就选择这条路线 to_visit=J(Select(1)); Tabu(i,j)=to_visit; end end
if NC>=2
Tabu(1,:)=R_best(NC-1,:); end
%%第四步：记录本次迭代最佳路线
L=zeros(m,1); %开始距离为0，m*1的列向量 for i=1:m
R=Tabu(i,:); for j=1:(n-1)
L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1)); %原距离加上第j个城市到第j+1个城市的距离 end
L(i)=L(i)+D(R(1),R(n)); %一轮下来后走过的距离 end
L_best(NC)=min(L); %最佳距离取最小 pos=find(L==L_best(NC));
R_best(NC,:)=Tabu(pos(1),:); %此轮迭代后的最佳路线 L_ave(NC)=mean(L); %此轮迭代后的平均距离 NC=NC+1; %迭代继续 %%第五步：更新信息素
Delta_Tau=zeros(n,n); %开始时信息素为n*n的0矩阵 for i=1:m
for j=1:(n-1)
Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))+Q/L(i);
%此次循环在路径（i，j）上的信息素增量 end
Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))=Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))+Q/L(i);
%此次循环在整个路径上的信息素增量 end
Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau; %考虑信息素挥发，更新后的信息素 %%第六步：禁忌表清零
Tabu=zeros(m,n); %%直到最大迭代次数 end
%%第七步：输出结果
Pos=find(L_best==min(L_best)); %找到最佳路径（非0为真） Shortest_Route=R_best(Pos(1),:) %最大迭代次数后最佳路径 Shortest_Length=L_best(Pos(1)) %最大迭代次数后最短距离 subplot(1,2,1); %绘制第一个子图形 DrawRoute(C,Shortest_Route); %画路线图的子函数 subplot(1,2,2); %绘制第二个子图形 plot(L_best);
hold on %保持图形 plot(L_ave,'r');
title('平均距离和最短距离') %标题 function DrawRoute(C,R)
%%=========================================================================
%% DrawRoute.m
%% 画路线图的子函数
%%-------------------------------------------------------------------------
%% C Coordinate 节点坐标，由一个N×2的矩阵存储 %% R Route 路线
%%========================================================================= N=length(R);
scatter(C(:,1),C(:,2)); hold on
plot([C(R(1),1),C(R(N),1)],[C(R(1),2),C(R(N),2)],'g'); hold on for ii=2:N
plot([C(R(ii-1),1),C(R(ii),1)],[C(R(ii-1),2),C(R(ii),2)],'g'); hold on end
title('旅行商问题优化结果 ')
