（2）由（1）知，对?n?N*，有Man?bn成立等价于m?7n?3对?n?N*成立，4n7(n?1)?3n?17n?37n?104)等价于m?(，而， ?max7n?34n4(7n?3)n4由于(7n?10)?4(7n?3)??21n?2?0
?7n?10?7n?3??1对?n?N*均成立 ??n?是单调递减数列
4(7n?3)?4?7n?37x1?35?5?M)??，故的取值范围为,??max?。 ?4n4122???(
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第四讲 等 差 数 列
基础知识
1、定义：若an?an?1?d(n?2,n?N?,d为常数） ，则数列?an?是等差数列。 2、通项公式：an＝a1?(n?1)d ＝dn?(a1?d)
3、等差中项：若a,x,b成等差数列，则x是a,b的等差中项，且x?4、前n项和公式：Sn?a?b 2n(a1?an)1?na1?n(n?1)d 22dd＝n2?(a1?)n 225、性质：
（1）m?n?p?q(m,n,q,q?N*)则am?an?ap?aq （2）S2n?1?(2n?1)an
（3）Sn,S2n?Sn,S3n?S2n?仍然成等差数列。 （4）若an?为等差数列，则???Sn??仍为等差数列，且其公差为?an?的公差的一半。 n??课前热身
1、在2与6之间的插入三个数，使它们成等差数列，则中间这个数为（ B ）
A、3 B、4 C、5 D、12 2、等差数列an?中，a1?a2?3?a4?a5?20，则a3=4。 3、等差数列an?中，a3?3,a8?33,则公差d＝6。
4、若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146，所有项的和为390,则这个数列的项数为13。
??范例分析
例1 在等差数列an?中，已知a5?10,a12?31.求a20,an 解：?a5?10,a12??2
??a1?4d?10?a??2 ?? ??1?d?3?a1?11d?31
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?an?a1?(n?1)d?3n?5,a20?a1?19d?55
或由d?a12?a5?3有
12?5a20?a5?15d?55 an?a5?(n?5)d?3n?5
点评：熟悉公式，正确计算是解决本题的关键。 例2 在等差数列an?中，S10?100,S100?10,求S110
?10?9?100?10a?d1??2解：由题意：?
100?99?10?100a?d1??2?a1??S110或由?109911,d?? 10050110?109?110a1?d??110
2?Sn??仍然成等差，设其公差为d则 ?n?S100S101??10111001010 d????100?1090100S110S10??(110?10)d?10?(?11)??111010?S110??110 ?点评：直接应用求和公式，或利用等差数列的性质来求解，显然利用性质求解，简捷明快。
例3 已知数列an?是等差数列，其中a1?25,a4?16 （1）数列an?从哪一项开始小于0？ （2）求a1?a3?a5???a19的值。 （3）求a1?a2?a3???a19的值。
解析：（1）因为a4?a1?3d, ?d??3, ?an?28?3n
由28?3n?0有n?9??1 3153
?数列?an?从第10项开始小于0
（2）由（1）易知a1,a3,a5,?,a19是首项为25,公差为-6的等差数列，且共有10项。
?a1?a3?a5??a19?10?25?10?9?(?6)??202
（3）因为数列?an?前9项为正，从第10项起为负。
?a1?a2??a19
?(a1?a2???a9)?(a10?a11???a19) ?S9?(S19?S9)?2S9?S19?272
点评：注意公式正确应用，及去绝对值时，当an?0时要添负号。 例4 设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知a3?12,S12?0,S13?0。 （1）求公差d的取值范围；
（2）S1,S2,S3,?,S12中哪一个值最大？并说明理由。
12?S?(a1?a13)?6(a6?a7)?012??2解：（1）因为?
?S?13(a?a)?13a?0131137??2?a6?a7?0 ??a?0?7?2a1?11d?024???a1?6d?0解得：??d??3
7?a?12d?12?1（2）由?又??a6?a7?0有a6?0,a7?0
?a7?024?d??3 ??an?是递减数列 7?S1,S2,S3,?,S12中S6最大
点评：求有关等差数列的最值问题方法较多，常有利用数列的特性，及函数的有关思想等。
达标练习
1、等差数列8,5,2??的通项公式为an＝ 11-3n。
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