模块五：
第一章 解三角形
学习目标
1、理解正弦定理，应用正弦定理解决有关三角形的问题 2、理解余弦定理，应用余弦定理解决有关三角形的问题
3、应用余弦定理和正弦定理解决有关距离、高度、角度等几何量的测量和计算问题
第一讲 解三角形
基础知识
1、正弦定理：
abc???2R（R为△ABC的外接圆半径） sinAsinBsinC111absinC?bcsinA?casinB 22222 2、面积公式：S?b2?c2?a2A?3、余弦定理：a?b?c?2bccosA 、 cos
2bc2c2?a2?b2B? b?c?a?2cacosB 、 cos
2ca222b2?c2?a2C? c?a?b?2abcosC 、 cos
2bc2224、正弦定理可解决：①知两角及一边
②知两边及一边的对角（此类问题可有两解，一解、无解）
余弦定理可解决：①知三边求角
②知两边及夹角
课前热身
（1）在?ABC中，若sinA?sinB，则正确的是 （ A ）
A、A?B B、A?B C、A?B D、大小不确定 （2）在?ABC中，已知b?3，A?45o,B?60o，则a?2 （3）在?ABC中，已知a?3,b?4,c?6,则最大内角的余弦值为：?11 24（4）在?ABC中， AC?2,AB?3,BC?7,则?ABC的面积为：
33 2范例分析
例1 （1）?ABC中，已知a?43，b?4，B?30，求A。
（2）?ABC中，若A?60o,B?16,三角形的面积S?2203，求边长a。
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oasinB43sin30o3oo解：（1）?sinA? ?a?b ?A?60或120 ??b42 （2）?S?1bcsinA?43c?2203 ?c?55 2?a2?162?552?2?16?55?cos60o?2401 ?a?49
点评：本题是直接应用公式解题，意在让学生熟记公式及直接应用。 例2 在?ABC中，A?60,b?1,面积为oa?b?c3，求的值
sinA?sinB?sinC2解：由S?13得c?2， bcsinA?22?a2?b2?c2?2bccosA?3 a?3 ?a?b?ca??2
sinA?sinB?sinCsinA点评：本题是综合应用定理解题，注意定理的变式应用。
例3 在?ABC中，若acosA?bcosB?csinC，则?ABC的形状是什么？
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2解法一：由已知有：a? ?b??c?2bc2ac2ab?a2(b2?c2?a2)?b2(a2?c2?b2)?c2(a2?b2?c2) ?(a2?b2)2?c4故a2?b2?c2或b2?a2?c2
? ?ABC为直角三角形
解法二：由已知有：sinAcosB?sinBcosB?sinCcosC
11? sin2A?sin2B??sin(A?B)?cos(A?B) 22? sin(A?B)cos(A?B)??sin(A?B)cos(A?B) ?0?A?B?? ?sin(A?B)?0
? cos(A?B)?cos(A?B)?0即cosA?cosB?0
A?? cosA?0或cosB?0 ? A,B为三角形的内角，?? ?ABC为直角三角形。
点评：已知三角形中的边角关系，判断三角形的形状有两种思路：一是化边为角，再利
用三角恒等变形，求出三个角之间的关系式；二是化角为边，再进行代数恒等变形求出三条边之间的关系式。
?2或B??2
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例4 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB?2,BC?6,CD?DA?4,求四边形ABCD的面积。
解：如图：连接AC
A D
B C ?B?D?180o ?sinB?sinD,cosB??cosD
AB2?BC2?2AB?BCcosB?AD2?DC2?2AD?DCcosB
即40?24cosB?32?32cosD
?56cosB?8 ?cosB?143 sinB? 7711AB?BCsinB?AD?DCsinD?14sinB?83 22点评：本题充分运用平面几何的知识，将求面积转化为求sinB的大小。 达标练习
?S?S?ABC?S?ADC?1、△ABC中若a?5b,A?2B则cosB?（ B ） 2A、5555 B、 C、 D、
63452、在?ABC中，已知a2?b2?c2?bc,则A的大小为 （ B ）
A、
?6 B、
?3 C、
2??2? D、或 333oo3、?ABC中，已知a?8,B?60,C?75，则b? （ C ）
A、42 B、43 C、46 D、
4、?ABC中，若0?tanAtanB?1,则?ABC是 （ B ）
32 3A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不确定
5、在锐角?ABC中，B?2A,则
b的取值范围为 （ B ） aA、(?2,2) B、(2,3) C、(2,2) D、(0,2)
nic2?snicosA6、在?ABC中，若(a?b?c)(a?b?c)?3ab，且sB，则?ABC为（ A ）
A、等边三角形 B、等腰三角形但不是等边三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形但不是直角三角形
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7、在?ABC中，边a,b的长是方程x?5x?2?0的两根，C?120则边c?8、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?2o23 1 25:35:25，则最大角的余弦值为9、已知?ABC中，c?10,A?45o,C?30o，求解三角形。
解：?B?180?45?30?105
oooo?10ba?? ?b?5(6?ooosin30sin105sin452a),?10 2110， ,sinB?21010、在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，又tanA?（1）求tanC的值
5，求?ABC的面积。 511310解：（1）若B为钝角 ：则cosB?? ?tanB??,又tanA?
3210（2）若?ABC最短边的长为
11?tanA?tanB123?tan(A?B)???11?tanA?tanB71?61?tanC?? ?C为钝角 ?舍去
71?B为锐角，?tanB?，同理可求?tanC??1
3oo ?C?（2）由（1）有tanC??1 ?0?C?180anA?tan13o5，又tB0?
?b边为最短边，而b?
5 552?bsinC15?c??22?1，又tanA?, ?sinA?
cosB251010
?S?ABC?11551bcsinA???1?? 225510
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