1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.
20．本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、
B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0，
1，1）， 2从而AC?(3,1,0),PB?(3,0,?2). 设AC与PB的夹角为θ，则
cos??AC?PB|AC|?|PB|?327?37, 14∴AC与PB所成角的余弦值为
37. 14 （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则
1NE?(?x,,1?z)，由NE⊥面PAC可得，
2??NE?AP?0,???NE?AC?0.?1?3z?1?0,(?x,,1?z)?(0,0,2)?0,?x?????2 ∴?6 即?化简得?1?3x??0.?z?1?(?x,1,1?z)?(3,1,0)?0.?2???2?33,0,1)，从而N点到AB、AP的距离分别为1，. 66即N点的坐标为(解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角. 在△AOE中，AO=1，OE=
17PB?, 22
AE?15PD?, 22高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！
75?44?37. ∴cosEOA?1472??121?即AC与PB所成角的余弦值为
37. 14 （Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则?ADF??6.
连PF，则在Rt△ADF中DF?AD233?,AF?ADtanADF?.
cosADF33设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC. ∴N点到AB的距离?113AP?1，N点到AP的距离?AF?. 22621．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解
决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为y?k(x?1)?3,代入3x?y??，整
理得 (k?3)x?2k(k?3)x?(k?3)???0. ① 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根， ∴??4[?(k?3)?3(k?3)]?0, ② 且x1?x2?
22222222k(k?3),由N（1，3）是线段AB的中点，得 2k?3x1?x2?1,2?k(k?3)?k2?3.
解得k=－1，代入②得，??12,即?的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为y?3??(x?1),即x?y?4?0.
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解法2：设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
22??3x1?y1???(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0. ?22??3x2?y2?? 依题意，x1?x2,?kAB??3(x1?x2).
y1?y2∵N（1，3）是AB的中点， ∴x1?x2?2,y1?y2?6,从而kAB??1. 又由N（1，3）在椭圆内，∴??3?12?32?12,
∴?的取值范围是（12，+∞）. 直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入椭圆方程，整理得 4x?4x?4???0.
又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,y0),则x3,x4是方程③的两根， ∴x3?x4??1,且x0?211313(x3?x4)??,y0?x0?2?,即M(?,). 22222于是由弦长公式可得 |CD|?1?(?)?|x3?x4|?21k22(??3). ④
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得4x?8x?16???0 ⑤
2同理可得 |AB|?1?k?|x1?x2|?2(??12). ⑥
∵当??12时，2(??3)?2(??12),?|AB|?|CD|
假设存在?>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
点M到直线AB的距离为 d?|x0?y0?4|2|??13??4|3222?. ⑦ 22于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
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AB29??12??3CD2|????||. 22222|CD|故当?>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.
2|MA|2?|MB|2?d2?| （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）
A、B、C、D共圆?△ACD为直角三角形，A为直角?|AN|2=|CN|·|DN|，
|AB|2|CD||CD|)?(?d)(?d). ⑧ 222??12, 由⑥式知，⑧式左边?2即 (由④和⑦知，⑧式右边?(2(??3)322(??3)32??39??12?)(?)???, 2222222∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为y?3?x?1，代入椭圆方程，整理得
4x2?4x?4???0. ③
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得
4x2?8x?16???0. ⑤
解③和⑤式可得 x1,2?2???12?1???3,x3,4?.
22不妨设A(1?1??12,3?1??12),C(?1???3,3???3),D(?1???3,3???3)
222222∴CA?(3???12???33???3???12,)
22DA?(3???12???33???3???12,)
22计算可得CA?DA?0，∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
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