一九九０年全国高考数学试题
理科试题
一．选择题：本题共15个小题;每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后的圆括号内。
（1）方程2log3x?的解是 （ A ） （A）x? （B）x?19
143 （C）x?3 （D）x?9 32?，所得到的向量对3（2）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转
应的复数是 ( B ) （A）
?1?3?1?31?3?1?3?i ?i （B）2222?1?31?31?3?1?3?i （D）?i 2222（C）
（３）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于 （ D ） （A）
SSSSSSS （B） （C）S （D） 242?4?（4）方程sin2x?sinx在区间(0,2?)内的解的个数 （ C ）
Y
4
1
? （ 5）已知右图是函数 y?2sin(?x??)(|?|?) 2 O X （A）1 （B）2 （C）3 （D）
11? （ C ） 图像，那么
1210?10?（A）??,?? （B）??,???
1161161
（C）??2,?? （D）??2,??? （6）函数y?sinx|cosx|tgx|ctgx|的值域是 （ B ） ???|sinx|cosx|tgx|ctgx?6?6（A）{-2,4} (B){-2,0,4} (C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} （7）如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于y=x对称，那么 ( A ) （A）a?,b?6 （B） a?,b??6 （C）a?3,b??2 （D） a?3,b?6 （8）极坐标方程4?sin2??5表示的曲线是 （ D ） 21313（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线 （9）设全集I?{(x,y)|x,y?R}，集合M?{(x,y)|????????y?3?1}， x?2N?{(x,y)|y?x?1}那么M?N等于 （ B ）
（A）? （B）{(2,3)} （C）（2，3） （D）{(x,y)|y=x+1} （10）如果实数x,y满足等式（x-2)2+y2=3，那么的最大值是 (A) (B)
12yx33 (C) (D)3 （ D ） 32 S
E C B F A
（11）如图，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角等于 （ C ）
(A)900 (B)600 (C)450 (D)300
（12）已知h＞0，设命题甲为：两个实数a,b满足|a-b|＜2h；命题乙为：两个实数a,b满足
|a-1|＜h且|b-1|＜h.那么 （ B ） （A）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
2
（B）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 （C）甲是乙的充要条件
（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
（13）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有 （ B ） （A）24种 （B）60种 （C）90种 （D）120种 （14）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 （ C ） （A）70个 （B）64个 （C）58个 （D）52个 （15）设函数y?arctgx的图像沿x轴正方向平移2个单位所得到图象为C。又设图象C?与C关于原点对称，那么C?所对应的函数是 （A）y??arcg(x?2) （B）y?arcg(x?2) （ D ） （C）y??arcg(x?2) （D）y?arcg(x?2)
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案填在题中横线上。
x2y2（16）双曲线??1的准线方程____________
169答案：y??16 5(17)（x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数等于__________ 答案：-20
（18）已知{an}是公差不为零的等差数列，如果Sn是{an}的前n项的和，那么limnan等于___________
n??Sn 3
答案：2
(19)函数y?sinxcosx?sinx?cosx的最大值是___________ 答案：?2
(20)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中， 若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2=_____ 答案：7:5
三．解答题：本大题共6小题，共60分. （21）（本小题满分10分）
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12。求这四个数。
(a?d)2. 解：设四个数依次为a-d,a,a+d,a2?(a?d)(a?d)??16依题意，有??a??a?(a?d)?1212 C1 A1 B1 V1 F C A B E
(1) (2)由（2）式得d=12-2a （3） 将（3）代入（1）式得
(a?d)2[a?(12?2a)]??16.整理得:a2?13a?36?0. a解得:a1?4,a2??6从而得所求四个数为0,4,8,16.或15,9,3,1. （22）（本小题满分8分）
4
