第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(初中组)
总分 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A（初中组）
（时间: 2011年4月16日14:00～15:30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
?1.2?120)?(?1?16)1. 计算:
?1?(?3)?(?312= .
2. 算式: 兔?兔年?吉祥如意?兔兔兔兔兔兔
中的汉字代表0～9的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数字, 吉祥如意所代表的四位数是 .
3. 将12个小球放入编号为1至4的四个盒子中, 每个盒子中的小球数不小于盒
子编号数, 那么共有 种不同的放法．
4. 有一列数, 第一个数是10, 第二个数是20, 从第三个数开始, 每个数都是前
面所有数的平均数, 那么第2011个数是 . 5. 设x是有理数, P?3x?6?x?3?2x?6?x?9, 则P的最小值为 . 6. 将自然数1~22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数）, 在形
成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有 个.
60287. 下面两串单项式各有2011个单项式:
xy,xy,xy,?,xxy,xy,x23781213245783n?1y3n?2,?,x5m?3y6029,x6031y6032
y10058y,?x5m?2y,?,x10052y10053,x10057
其中n,m为非负整数, 则这两串单项式中共有 对同类项.
8. 将能被3整除、被5除余2、被11除余4的所有这种正整数依照从小到大的
顺序排成一列, 记为a1,a2,a3,a4,?. 如果an?1?2011?an, 则n等于 - 1 -
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(初中组)
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 将9个各不相同的正整数填在3×3表格的格
子中, 一个格子填一个数, 使得每个2×2子表格中四个数的和都恰好等于100. 求这9个正整数总和的最小值.
10. 右图中, 平行四边形ABCD的面积等于1, F
是BC上一点, AC与DF交于E, 已知则三角形CEF的面积是多少？
11. 设m,n,p为非零自然数, m?n?p, 且满足方程:
(m?83)(n?83)(p?83)?mnp27BFFC?3,
图1 图2
. 问p的最大值等于多少？
12. 如图, 如果将梯形ABCD分割成 一个
平行四边形ABCE和一个 三角形AED,
AB=3823AB米, BC=2623米, CD=72米,
DECAD=20米, 那么四边形ABCE，三角形AED，梯形ABCD的面积分别是多少平方米？
三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）
13. 在边长为1厘米的正方形ABCD中, 分别以A, B, C, D
为圆心, 1厘米为半径画圆弧, 交点E, F, G, H, 如图所示. 求中间阴影六边形BEFDGH的面积.
14. 已知x?
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1x?m, 是否存在整数m使得x4?1x4为完全平方数？如果存在, 求
出整数m；若不存在, 请说明理由.
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(初中组)
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A参考答案（初中组）
一、 填空题 (每小题 10分，共80分)
题号 答案
1 249192 8547 3 10 4 15 5 21 6 10 7 402 8 13 二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)
9. 答案：121 10. 答案
140
11. 答案：4
12. 答案：ABCE的面积是618(平方米)
32AB三角形ADE的面积是266 (平方米)
32梯形的ABCD面积是885(平方米)
31DFEC三、解答下列各题 (每小题 15分，共30分，要求写出详细过程)
13. 答：平方厘米.
21解：如图，连接AF, AE, 则?ADF,?AFE,?AEB都是顶角为30?，两腰为1厘米的等腰三角形.其面积相等. 自点F作FP?AD于P. 则FP?三角形ADF的面积?形ABEFD的面积=
3412?1?12?1412. ,因此
所以五边
（平方厘米）. 同理，
34五边形BCDGH的面积=（平方厘米）.
而正方形ABCD的面积为1平方厘米.
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(初中组)
由面积重叠原理可知，重叠部分为阴影六边形BEFDGH，它的面积为
34?34?1?12（平方厘米）.
14. 答案：不存在 解：若存在整数m使得x4?x?41x4为完全平方数，则设存在正整数n使得，
1x4?n1xx2.
2因为x??m，所以x?14221x2?m?2.
2所以x4??(m?2)?2.
所以(m2?2)2?2?n2. 即(m2?2?n)(m2?n)?2.
因为m2?2?n与m2?2?n的奇偶性相同，且2是偶数，所以m2?2?n与
m?2?n都是偶数.
2因为(m2?2?n)(m2?n)是4的倍数，但是2不是4的倍数，矛盾！ 所以不存在整数m使得x4?
1x4为完全平方数.
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