12. 将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形,再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,得到了三个多边形,然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,…, 如此下去。在得到的多边形中要有20 个五边形, 则最少剪多少次? ［答案］38
［解析］一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加3600，剪k次共增加的度数至多为(k × 3600），所以这（k-1）个多边形的度数和至多是k ×3600 +5400。另一方面，20个五边形的度数和为20×5400，剩余的（k-19）个多边形的度数和最小是（k－19）×1800，这样得到： （k－19）×1800+20×5400≤k ×3600 +5400 整理得K≥38.。
当k=38时，可以先将一个五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个五边形。 三、解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程）
13. 如右图, 有一张由四个1×1的小方格组成的凸字形纸片和一张5×6的方格纸。现将凸字形纸片粘到方格纸上, 要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合,那么可以粘出多少种不同的图形? (两图形经旋转后相同看作相同图形)
［答案］31
［解析］把凸字形上面那个小方格称为它的头。粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸边框上为一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类。
对于第一类，凸字形的头不能黏在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有2×3+2×4=14（个），即有14个图形。 对于第二类，方格纸内部的每一个小格都可以粘凸字形的头，有头朝上、头朝下、头朝左、头朝右之分。所以，这类图形有4×（3×4）=48（个）。 由加法原理知，共有14+48=62种图形。
由于方格纸的每个小格都与另外一个小方格旋转对称，所以，总的不同的图形为62÷2=31（个）。 14. 设n 是正整数。若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数 a, b,c,d 使得a＋b－c－d 能被 20 整除,则n的最小值是多少? ［答案］9
［解析］存在8个数：0,1,2,4,7,12,20,40它们中的任何四个数都不满足条件，所以，n的最小值大于或等于9.
另一方面，对于任意9个非负整数，从中任取7个，它们的两两之和共有21个，这21个和数除以20的余数有21个。因为余数最多有20个不同的值，所以有下述两种情况之一发生： （1）有4个不同的数a, b, c, d使得a+ b与c+ d 除以20有相同的余数。此时，这4个数满足题目要求。
（2）有3个不同的数a, c, x使得a+ x与c+ x除以20有相同的余数，则 a+ x-(c+ x)=a+ c
是20的倍数，将a, c从9个数中取出。对于剩下的7个数，同理可得，要么有4个不同的数满足题目；要么有2个数b, d使得b- d是20的倍数，如此一来，a, b, c, d使得a+b-c-d是20的倍数。
