2006年高考试题理科数学（福建卷）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设a,b,c?R,则复数(a?bi)(c?di)为实数的充要条件是
（A）ad?bc?0 （B）ac?bd?0 （C）ac?bd?0 （D）ad?bc?0
（2）在等差数列?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6等于
（A）40 （B）42 （C）43 （D）45
（3）已知??(
3?,?),sin??,则tan(??)等于 25411（A） （B）7 （C）? （D）?7
77?2（4）已知全集U?R,且A?x|x?1?2,B?x|x?6x?8?0,则(CUA)?B等于
????
（A）[?1,4) （B）(2,3) （C）(2,3] （D）(?1,4)
（5）已知正方体外接球的体积是
32?，那么正方体的棱长等于 3
（A）22 （B）234243 （C） （D） 333（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球
的概率等于
2339 （B） （C） （D） 78728（7）对于平面?和共面的直线m、n,下列命题中真命题是
（A）
（A）若m??,m?n,则n∥? （B）若m∥?,n∥?,则m∥n
（C）若m??,n∥?,则m∥n （D）若m、n与?所成的角相等，则m∥n
（8）函数y?log2x(x?1)的反函数是 x?1
2x2x(x?0) （B）y?x(x?0) （A）y?x2?12?12x?12x?1(x?0) （D）y?x(x?0) （C）y?x22
（9）已知函数f(x)?2sin?x(??0)在区间??
（A）
????,?上的最小值是?2，则?的最小值等于 ?34?23 （B） （C）2 （D）3 32x2y2o（10）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有
ab且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A）(1,2] （B）(1,2) （C）[2,??) （D）(2,??)
????????????????.?0,点C在?AOC?30o。 （11）已知OA?1,OB?3,OAOB
????????????m设OC?mOA?nOB(m,n?R)，则等于
n（A）
13 （B）3 （C） （D）3 33（12）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：
?x2?x1?y2?y1.
给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则AC?CB?AB; ②在?ABC中，若?C?90o,则AC2?CB?AB;
22③在?ABC中，AC?CB?AB.
其中真命题的个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
4（13）(x?)展开式中x的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。
21x52（14）已知直线x?y?1?0与抛物线y?ax相切，则a?______.
（15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标 以数2。将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿＿＿。 （16）如图，连结?ABC的各边中点得到一个新的?A1B1C1,又连
结?A1B1C1的各边中点得到?A2B2C2，如此无限继续下 去，得到一系列三角形：?ABC，?A1B1C1，?A2B2C2，...， B1C2yC这一系列三角形趋向于一个点M。已知A(0,0),B(3,0),
A2B2C1A1C(2,2),则点M的坐标是＿＿＿＿。
AOBx三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?sin2x?3sinxcosx?2cos2x,x?R. （I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（II）函数f(x)的图象可以由函数y?sin2x(x?R)的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
BACA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2.
（I）求证：AO?平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离。
DOEC
（19）（本小题满分12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
y?13x3?x?8(0?x?120).已知甲、乙两地相距100千米。
12800080 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
y（20）（本小题满分12分）
x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。 已知椭圆2FAB （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
l （II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)??x?8x,g(x)?6lnx?m. （I）求f(x)在区间?t,t?1?上的最大值h(t);
2GOx（II）是否存在实数m,使得y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）
已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N).
*（I）求数列?an?的通项公式； （II）证明：
an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12
2006年高考(福建卷)数学理试题答案
一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）B （12）B 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。
（13）10 （14）
1452 （15） （16）(,) 4933三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
解：（I）f(x)?1?cos2x3?sin2x?(1?cos2x) 22?313sin2x?cos2x?222
?3?sin(2x?)?.62
?f(x)的最小正周期T?由题意得2k??即 k??2???. 2?2?2x??6?2k???2,k?Z,
?3?x?k???6,k?Z.
?????f(x)的单调增区间为?k??,k???,k?Z.
36??（II）方法一：
先把y?sin2x图象上所有点向左平移
??个单位长度，得到y?sin(2x?)的图象，再把所得图象上所有1263?3的点向上平移个单位长度，就得到y?sin(2x?)?的图象。
262
方法二：
??3?3把y?sin2x图象上所有的点按向量a?(?,)平移，就得到y?sin(2x?)?的图象。
12262（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想
象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 方法一： （I）证明：连结OC
?BO?DO,AB?AD,?AO?BD. ?BO?DO,BC?CD,?CO?BD.
在?AOC中，由已知可得AO?1,CO?3. 而AC?2,
MA?AO2?CO2?AC2,
OBDC??AOC?90o,即AO?OC.
E
