浙江省六校联盟2020届高三回头联考（理科）数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2．已知i为虚数单位，则复数z?3?i的虚部为（ ）
(1?i)iA．1 B．2
C．?1 D．?2
3．若不等式lnx?11?m?m?e对x?[,1]成立，则实数m的取值范围是（ ） xe1[?,??)A．2 1(??,?]2 B．
1[?,1]C．2 D．[1,??)
4．某程序框图如图所示，若输出S＝3，则判断框中M为（ ）
A．k＜14？ B．k≤14？ C．k≤15？ D．k＞15？
5．正四棱锥V?ABCD的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为26,则此球的体积为（ ）
9?A．722? B．36? C．92? D．2 fx）（?2?a）（[x?2）e?6．若函数（A．
x121
ax?ax](a?R）（,1） 在上有极大值，则a的取值范围为 （）22
?e,e? B．?e,2? C．(2,e) D．?e,???
x2y2?1(a?3)的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线l与椭圆的一个交7．已知椭圆O：2?a3点为M，右焦点F2关于直线l的对称点为P，若?F1MP为正三角形，且其面积为3，则该椭圆的离心率为（ ）
2133A．2 B．2 C．2 D．3
8．若cos（
1π?θ）=，则sin2θ=（ ）
2431C．2 D．2
31?A．2 B．2
?9．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 ( ）
A．36个 B．48个 C．52个 D．54个 10．函数f(x)?Asin(?x??4)(??0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到
?3函数g(x)?Acos?x的图象，只需将f(x)的图象（ ）
A．向左平移
?12个单位 B．向右平移
?个单位 4?3?C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
11．函数
的图象可能是（ ）
A． B．
22 C． D．
12．直线y?kx?3被圆?x?2???y?3??4截得的弦长为23，则直线的斜率为( )
A．3 B．?3 33?C．3 D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．点
M?x,y?2222x?4x?y?21?0t?x+y?12x?12y?150?a，且t的最大C在曲线：上运动，
11??值为b，若a,b?R，则a?1b的最小值为_____.
14．在平行四边形ABCD中，AD?2，?BAD?120o，E为BC的中点.若AC?DE??2，则AB的长为_____．
uuuvuuuv
15．已知函数
，则
16．已知
_____ 中，
，
，
，若函数的图象关于点对称，且
，则该三角形的面积是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为促进义务教育的均衡发展，各地实行免试就近入学政策，某地区随机调查了50人，他们年龄的频数分布及赞同“就近入学”人数如表： 年龄 频数 赞同 ?5,15? 5 4 ?15,25? 10 5 ?25,35? 15 ?35,45? 10 8 ?45,55? 5 2 ?55,65? 5 1 12 （Ⅰ）在该样本中随机抽取3人，求至少2人支持“就近入学”的概率；若对年龄在
?5,15?，?35,45?的被
调查人中各随机选取2两人进行调查，记选中的4人支持“就近入学”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望。
18．（12分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点.
设棱
BB1的中点为D，证明：
PQB1C1D//
平面；若AB?2，
AC?AA1?AC1?4，
?AA1B1?60?，且平面
AA1C1C?平面
AA1B1B，求三棱锥
P?QA1B1的体积.
19．（12分）某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照
?55,65?,?65,75?,?75,85?,?85,95?进行分组，得到下列统计图.
???分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数
????分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？ ?????从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取3人，
记抽取的生产时间少于65min的工人人数为
随机变量X，求X的分布列及数学期望.
20．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为
?x?2?t??y?2t?2（t为参数），圆C的极坐标方程为??2(sin??cos?).写出直线l的方程和圆C的直角坐标
方程；若点P为圆C上一动点，求点P到直线l的最小距离.
21．（12分）设直线l的方程为(a?1)x?y?2?a?0，a?R.若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值.
22．（10分）如图所示，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA?平面ABCD，?ABC?60o，
E是BC中点，F是PC上的点.
求证：平面AEF?平面PAD；若M是PD的中点，当AB?AP时，
1PF是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为5？若存在，请求出PC的值；若不存在，
请说明理由.
