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一元二次方程（四） 整数根与有理根
A卷
1．已知k为整数，且关于x的二次方程(k2?1)x2?3(3k?1)x?18?0有两个不等的正整数根，则k = _________。
2．设一元二次方程x?3x?a?4?0的两根均为整数，且两根同号，则a = __________。 3．方程 (x- a ) (x – 8 ) – 1 = 0的两个整数根，则a = __________。 4．若p,q都是正整数，方程
2121px?qx?1993?0的两根都是质数，则2p + q = ________. 225．已知p,q为自然数，方程2px2?qx?1990?0两根都是质数，则p+q = ________。 6．若p是质数，且方程x2?px?444p?0的两根均为整数，则p = ______。
7．设方程x2?px?p?0的两根x1,x2均为正整数，若p + q = 28，则
(x1?1)(x2?1)=___________。
8．如果a为有理数，要使方程2x2?(a?1)x?(3a2?4a?b)?0的根总是有理数，则b的值应为____________。
9．设关于x的二次方程(a?1)x2?(a2?a?1)x?2a2?a?0当a______时，此方程至少有一个正整数解；当a_______时，此方程有两个正整数解；当a__________时，此方程有
两个负整数解。
10．对于整系数一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有有理根的充要条件是________；若a,b,c均为奇数，则方程_______________，若a,b为偶娄，c为奇数，则方程___________，若此方程有有理根p/q(p,q互质)，则p,q,a,c之间必有关系______________；若a>0且不是完全平方数，则方程有______。
B卷
一、填空题
1．若k是自然数，且关于x的二次方程(k?1)x?px?k?0有两个正整数根，则
22kkp?(pp?kk)?kk?p?2?kp?1?____________.
2．两个质数p,q恰是整系数方程x?99x?m?0的两根，则
2pq??________. qp3．若二次方程ax?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根，则自然数a = ____. 4．若正整系数二次方程4x?mx?n?0有相异的两个有理根p,q，且p>q，又方程
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x2?px?2q?0与方程x2?qx?2p?0有一公共根，则方程x2?px?2q?0的另一
根为___________。
5．设a,b,c为三角形ABC的三边，且满足:（1）a > b > c；（2）2b = a + c；（3）
a2?b2?c2?84, 则整数b = __________。
6．象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1980、1983、1989、1991，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有_____名选手参加比赛。 二、选择题
1．设p是质数，如果方程x2?px?580p?0的两根均为整则，则（ ） A．0 < p < 10; B．10 < p < 20; C．20 < p < 30; D．30 < p < 40.
2．设m，n为整数，则方程x?10mx?5n?3?0和方程x?10mx?5n?3?0必定（ ） A．至少有一个有整数根； B．均无整数根；C．仅有一个有整数根；D．均有整数根。 3．关于x的一元二次方程x?2mx?2n?1?0（m、n都是整数）如果有一个整数根?，则对它的另一根?所作的如下断言中正确的是（ ）
A．?不是整数；B．?一定是整数；C．?一定是奇数；D．?一定是偶数。 4．若方程x?mnx?m?n?0有整数根，且m、n为整数，则m?n的值有（ ） A．1个; B．3个; C．5个; D．无数个 三、解答题
1．若x,y为正整数，使得x?y?x能被2xy整除，证明：x为完全平方数。
2．M为何整数时，9m?5m?26能分解成两个连续自然数之积。
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3．已知方程x?bx?c?0及x?cx?b?0分别各有两个整数根且两根均同号， 求证：b–1 ≤ c ≤ b + 1 .
答案 A卷
1．原方程化为[(k+1)x - 6][(k - 1)x – 3 ] = 0, ∴x12263,x2?,?k?2, k?1k?12．-2;
3．8; 4．1997 5．409
6．设x1,x2原方程的两根，则x1x2??444p, ∵p为质数，故x1x2中有一个是p的倍数， 设x1=kp（k为整数），又x1?x2??p, ∴x2??(k?1)p,
∴x1x2?kp[?(k?1)p]??k(k?1)p??444p,即k(k?1).p?2?3?37, 当k=3时，p=37，∴p = 37。 7．29； 8．1；
9．原方程变形为[(a-1)x – (2a+1)](x-a)=0 当a=1时，原方程只有一个根x=a； 当a≠1时，其二根为x1?a,x2?222a?1,因此， a?1（1）当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根， （2）要使方程二根均为正整数，由于
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x2?2a?1(2a?2)?33??2?, a?1a?1a?1所以，当a为正整数，只要3能被a-1整除，则x2是正整数， 故只须取a=2或a=4即可，
当a=2时，方程有两个正整数根x1?2,x2?5; 当a=4时，方程有两个正整数根x1?4,x2?3; （3）当x1?a为负整数时，由a-1<0, 2a+1<0, ∴x2?2a?1?0,为正数， a?1∴无论a取何值，方程两根不会是负整数。 10．
?=b2?4ac?0是一个完全平方数；
无整数根，p/c且q/a；有共轭无数根?B卷
一、填空题
1．设α、β是方程(k?1)x2?px?k?0的两个正整数根， 则???bb?, 2a2k1p?1?,????. k-1k?1k?1由于α、β是正整数，故αβ也是正数，从而k=2， 则αβ=2且α+β=3=故p=3，
从而k(p?k)?kkppkk?2?pp
, p?1
?kp?1?26(33?22)?22?2?3?2?3?1?1993.
2．由韦达定理，p+q=99，由于p,q是质数，
故p,q中必有一个为2，要计算的代数式关于p,q是对移的， 不妨设p=2，从而q=97，∴
qp9729413???? pq2971943．∵原方程至少有一个整数根，
故?=4(2a?1)?4a?4(a?3)?4(8a?1)为完全平方数，
2设8a?1?(2m?1)（m为自然数）则a?21m(m?1)代入原方程，得 2- 4 -
