三角形的内切圆和外接圆第29,30次课
【知识要点】
1．确定圆的条件是什么？2．过平面任意三点可以作圆吗？若能，如何作？ 3．锐角、直角、钝角三角形的外接圆圆心位置有什么规律吗？
4．三角形的外接圆
（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．
（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径R?c(c为斜边长)． 25．三角形的内切圆
（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部． （2）若三角形的面积为S?ABC，周长为a+b+c,则内切圆半径为:r?2S?ABC，当a,b为直角三角形的直角边，
a?b?cc为斜边时，内切圆半径r?aba?b?c或r?.
a?b?c26．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．
注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 6．两个结论：
圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
【典型例题】
例1．填空和选择
（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 （2）如右图，I是?ABC的内心，则下列式子正确的是（ ）
B
I
· CA A、∠BIC=180?-2∠A B、∠BIC=2∠A C、∠BIC=90?+∠A/2 D、∠BIC=90?-∠A/2 （3）?ABC外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则?EFG的外心是?ABC的。 （4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为． （5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为r,R，则r:R=． （6）圆外切等腰梯形底角为60?，腰长为10，则圆的半径长为． （7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于． （8）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、高的比是．
（9）?ABC的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=135?，则?ABC为 ．
1
例2．如图，△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于E。
2A 求证：（1）IE=EC，（2）IE=ED·EA。
I
D
C B
E
例3．如图，已知?ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE，求证：?ABC是等腰三角形
B
例4．已知?ABC三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为 【经典练习】
一、选择题 1.下列命题中，正确的有（ ） ① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形 ③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=3：5：6，那么∠D=（ ） A．80° B．90° C．100° D．120°
3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ） A．
P E
C
A
·
O
34? B．
3? C．
32? D．
2?
4.如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=110°，则∠BCD=（ ）A．125° B．110° C．55° D．70°
图1 B C O D
D C 图2
图3
O B C A A B A P D 5.如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=60°，则∠ABC=（ ） A．30° B．60° C．120° D．90°
︵
6.如图3，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AD上，则∠BPC为（ ） A．35° B．40° C．45° D．50°
2
7.如图4，MNPQ中，过点Q、M的圆与PQ、MN分别相交于点E、F，下列结论中正确的有（ ） ①∠EFN=∠Q=∠N；②∠EFN+∠P=180°；③EF=PN=MQ；④∠M=∠FEP。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为⊙O的直径，若∠CBE=50°，则圆心角∠AOC =（ ） A．50° B．80° C．100° D．130°
E Q P
M 图4 O F N A 图5 O D C B E 9．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心 ，∠A=80°，则∠BIC=，∠BOC=。
10．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于，其内切圆的直径长为。 11．直角三角形的一边为a，它的对角是30°，则此三角形的外接圆的半径是。 12．如图6，⊙I切△ABC于D、E、F，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B=。
B F I D
图6
C E D E C O B
F A O A A D C B
图7 图8
13．如图7，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D、E、F为切点。若∠AOC=120°，则∠OAC=，∠B=；若AB=2cm，则AC=,△ABC的外接圆半径=，内切圆半径=。
14．如图8，若弦AD∥BC，∠BAC=70°，∠ABC=80°，则∠ADC=度，∠ACD=度。 15．如图9，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AE⊥CD，若∠ABC=130°，则∠DAE=。
B C E O D
A O C B P
A D 图9 图10
16．如图10，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。已知∠A=60°，∠ABC=100°，则∠P=。
【大展身手】
一、选择题
1．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆 C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形
2．下列命题中的假命题是（）
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上 D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心
3
3．下列图形一定有外接圆的是（）A．三角形 4．下列说法正确的是（）
B．平行四边形 C．梯形 D．菱形
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点 B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点 D．过四点A、B、C、D的圆不存在 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（） A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
336．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍． A．2B．3
7．三角形的外心具有的性质是（）
1C．3 D．2
A．到三边距离相等 B．到三个顶点距离相等 C．外心在三角形外 D．外心在三角形内 8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）
A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
9．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（） A．菱形
B．等腰梯形
C．矩形
D．正方形
10．如图所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（ ） A、1对 C、3对
B、2对 D、4对
B C
Q A
D
E A P
11．∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，那么一定有（ ） A、∠DCE+∠A=180? C、∠DCE=∠A 二、填空题：
B、∠DCE+∠B=180? `D、∠DCE=∠B
1．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH=．
2．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．
7．如图所示，在?ABC的外接圆中，AB=AC，D为AB的中点，若∠EAD=114?，则∠BAD=
B D · O
C 4
