2.2.2 X射线积分法(RIM)
根据连续介质力学理论可知，在一受力作用的物体内，任一点的应变可以用位于该点的一小体积元的应变描述，此体积元的应变可以用一个由二阶张量组成的应变矩阵表示为:
图2.8即描述了这一小体积元的变形情况及应变分量εij，其中第一个下标i代表产生应变的方向，第二个下标j代表产生应变的面的法向。
对于各向同性材料，在平衡条件下平衡条件下
任一方向的应变可表示为
此为三维残余应力测定的基本公式，只要求出εij，然后根据应力-应变关系即可求出σij。
常规X射线残余应力测定方法是基于2θ-sin2ψ之间的线性关系，因此测得的是工件表层的平均二维应力。在实际的工件中，常常存在图2.9所示的不均匀应变和应力，在深度比较浅的范围内，可以认为深
度
z
处
的
应
变
为
:
用于测定残余应力的X射线束具有一定的宽度和一定的穿透深度，因此，探测器搜集到的是工件被照体积范围内的信息，探测到的应变是被照体积应变的计权平均<ε>，可用数学积分式表达如下:
式中，τ为X射线在被测工件中的穿透深度;ε(x，y，z)是某一点(x，y，z)处的应变。显然，求出了ε(x，y，z)，就求出了该点(x，y，z)处的残余应变或残余应力及其在工件中的分布。这里因涉及到残余应变的积分，故称为X射线积分法(RID边即X-Ray-Integral-Method)。可以看出，由于未知物理量ε(x，y，z)在积分号内，因此，这一求解过程是一反演问题，如何求出ε(x，y，z)即成为应力计算的核心。
为求解ε(x，y，z)，将RIM法基本公式中的ε(x，y，z)与 应变矩阵εij联系起来，通过数学处理将X射线照射体积元内的应变矩阵εij在工件深度z方向上按Taylor级数展开，当X射线有效穿透深度比较小时，可以认为深度与应力变化呈线性关系，因此，Taylor级数展开式只保留到一次即:
相应的
式中，ε0ij和σ0ij分别是被测工件表面的应变和应力; εzij和σzij分别是距被测工件表面深度z处的应变梯度和应力梯度。
这样，将
代入
，并与式
联立，求解应力的问题便转化为求解线性方程组的问题。从上述三式可以看出，该线性方程组共有12个未知量，因此，在无应力晶面间距d0未知的情况下，至少要测出13组ψ、?必对应的dψ?，以求解线性方程组。计算出ε后，根据应力一应变关系即可求出σ。
2.2.3 多波长法
多波长法是利用不同特征X射线在材料中穿透深度的差别而获得不同深度的衍射信息，从而测定出不同深度的加权平均应力，据此推算真实应力及随深度的分布。
