倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，
∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行， ∴=1，∴
，
．
解得e2=2，∴离心率e=故答案为：
．
16．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数 128 ． 【考点】数列的应用．
【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案． 【解答】解：我们首先需要先求出三个数：
第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15； 第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21； 第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；
然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．
最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．
由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128 故答案为：128
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知点P（
，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=
?．
（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
【分析】（1）根据向量的坐标运用求解，函数f（x）解析式，化解即可求函数f（x）的最小值及此时x的值．
（2）由f（A）=4，BC=3，余弦定理和△ABC的面积为得△ABC的周长．
13
，求△ABC的周长．
建立方程组，求解b，c的长度可
【解答】解：（1）点P（=（
，1），
=（?
，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点， cosx，1﹣sinx）
∵函数f（x）=∴f（x）=3﹣∴当x=
cosx+1﹣sinx=4﹣2sin（x+）
，k∈Z时，f（x）取得最小值2；
）=4
（2）∵f（A）=4，即4﹣2sin（A+可得：A+0＜A＜π ∴A=
．
=kπ，k∈Z．
又∵BC=3，
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccos又∵△ABC的面积为可得bc=3， 那么b+c=2
，即9=（b+c）2﹣bc．
，
，即bcsinA=
故得△ABC的周长为：a+b+c=2
+3．
18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
分[50，[60，[70，[80，[90， 值60） 70） 80） 90） 100）区间 频数 女性用户 男性用户 分[50，[60，[70，[80，[90， 值60） 70） 80） 90） 100）20 40 80 50 10 区14
间 频数 （1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【分析】（Ⅰ）作出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分分的人数为2，记为a，b，从6人人任取2人，利用列举法能求出两名用户评分都小于90分的概率．
【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
45 75 90 60 30
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人， 其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，
评分不小于90分分的人数为2，记为a，b，从6人人任取2人， 基本事件空间为：
Ω={（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）}，共有15个元素． 其中把“两名用户评分都小于90分”记作M，
则M={（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD）}，共有6个元素． 所以两名用户评分都小于90分的概率为p=
19．PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，
15
．
，
E为棱PD中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出PA⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥PD，再由AE⊥PD，能证明PD⊥平面ABE．
（II）四棱锥P﹣ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由此能求出四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．
【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD， ∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形， ∴AB⊥AD，PA∩AD，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点， ∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE， ∴PD⊥平面ABE．
解：（II）四棱锥P﹣ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O， 由已知BD=
=
=4
，
设C为BD中点，∴AM=2∴OA=
=
，OM=AP=1， =3，
=36π．
∴四棱锥P﹣ABCD外接球的体积是
20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．
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