2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）
直线与圆的方程
一．【课标要求】
1．直线与方程
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；
2．圆与方程
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
二．【命题走向】
直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。
预测2010年对本讲的考察是：
（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；
（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程.
三．【要点精讲】
1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为?0,??。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan?;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在.
过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan??y2?y1（若x1＝x2，则直
x2?x1线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
名称 斜截式 点斜式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 说明 k——斜率b——纵截距 适用条件 倾斜角为90°的直线不能用此式 (x0，y0)——直线上已知点，k——斜率 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 y?y1x?x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上与两坐标轴平行的直线= 不能用此式 y2?y1x2?x1两个已知点 截距式 xy+=1 aba——直线的横截距b——直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 ?ACC，?，?分别为BAB斜率、横截距和纵截距 A、B不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示
平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．圆的方程
圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：(x?a)?(y?b)?r(r?0)。特殊地，当a?b?0时，圆心在原点的圆的方程为：x?y?r。
22222222圆的一般方程x?y?Dx?Ey?F?0，圆心为点(?DE,?)，半径22r?D2?E2?4F22，其中D?E?4F?0。
222二元二次方程Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0，表示圆的方程的充要条件是：①、
x2项y2项的系数相同且不为0，即A?C?0；②、没有xy项，即B=0；③、
D2?E2?4AF?0。
四．【典例解析】
题型1：直线的倾斜角例1．（2008四川理，4）．直线y?3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）y??111x? （Ｂ）y??x?1 （Ｃ）y?3x?3 333图 1（Ｄ）y?x?13【解】：∵直线y?3x绕原点逆时针旋转900的直线为y?? 又∵将y??1，（D）x，从而淘汰（Ｃ）
3【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移
θ P（2，1） 问题；
θ 【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直
O A x 线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；
1x向右平移１个单位得 y 3 B 111 y???x?1?，即y??x? 故选A；
333 点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力.例2．(上海文，18)过圆C：(x?1)?(y?1)?1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，?AOB被圆分成四部分（如图），
22若这四部分图形面积满足S??S￥?S??S|||,则直线AB有（ ）（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
【解析】由已知，得：SIV?SII?SIII?SI,，第II，IV部分的面积是定值，所以，SIV?SII为定值，即SIII?SI,为定值，当直线
AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。【答案】B
题型2：斜率公式及应用例3．全国Ⅰ文16）若直线m被两平行线l1:x?y?1?0与l2:x?y?3?0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是
???? ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75?其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】解：两平行线间的距离为d?|3?1|1?1?2，由图知直线m与l1的夹角为30o，l1o00o00的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角等于30?45?75或45?30?15。【答案】①⑤
o（2）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。
（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上。（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标. 解析：（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包
括边界），而
yy?0表示点（x，y）与原点连线的斜率，则?xx?0??直线AO的斜率最大，其中A点坐标为?1，33?此时kOA?，?，2?2所以
y3的最大值是。x2点评：本题还可以设yy?k，则y?kx，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周xx折。（2）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.
因为A、B在过点O的直线上，所以
log8x1log8x2?，x1x2又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）由于log2x1＝
log8x1log8x2＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，
log82log82所以OC的斜率和OD的斜率分别为
kOC?log2x13log8x1log2x23log8x2?,kOD??。x1x1x2x2由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。
由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得 x2＝x13
log8x1log8x2?将其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1.x1x2由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝
3，于是点A的坐标为（3，log83）.
点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，
考查运算能力和分析问题的能力.
点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。题型3：直线方程
3?x?2?，求该直线另外三种特殊形式的方程。4353 解析：（1）将y?1???x?2?移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y??x?。
442例4．已知直线的点斜式方程为y?1?? （2）因为点（2，1）、（0，点。
53）均满足方程y?1???x?2?，故它们为直线上的两24 由两点式方程得：
y?1x?2?50?2?12 即
y?1x?2 ?3?22
