裂项相消法
利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。
（1）若是{an}等差数列，则
11111111?.(?),?.(?)
anan?1danan?1anan?22danan?2（2）
111??
n（n?1）nn?1（3）
1111?(?)
n(n?k)knn?k（4）
1111?(?)
（2n?1（)2n?1）22n?12n?11111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)1n?n?1（5）
（6）
?n?1?n
（7） 1.已知数列
1n?n?k?1(n?k?n) k的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为．
[解析] (1) ……………①
时, ……………②
①②得:
第 1 页 共 1 页
即 ……………………………………3分
在①中令, 有, 即，……………………………………5分
故对
2.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8． （Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若a1=1，设Tn是数列{恒成立的最大正整数m的值；
}的前n项和，求使不等式Tn≥对所有的n∈N*
[解析]（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8， 解得d=2．……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，…………………………………………5分
∴ =．…………………………………………6分
∴ Tn=
=
=≥，…………………………………………8分
又∵ 不等式Tn≥
对所有的n∈N*恒成立，
第 2 页 共 2 页
∴ ≥，…………………………………………10分
化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分
3.)已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列的前n项和,求T2 012的值.
[答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2. (5分) 故an=n+1. (6分)
(3分)
(Ⅱ)==-,(8分)
∴Tn=-+-+…+-=-=. (10分)
∴T2 012=. (12分)
4.)已知数列{an}是等差数列,Tn.
(1)求数列{an}的通项公式;
-=8n+4,设数列{|an|}的前n项和为Sn,数列的前n项和为
(2)求证:≤Tn<1.
[答案] (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d. (2分)
∵-=8n+4,
∴(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.
第 3 页 共 3 页
当n=1时,d(2a1+d)=12; 当n=2时,d(2a1+3d)=20.
解方程组得或(4分)
经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求. ∴an=2n或an=-2n. (6分) (2)证明:由(1)知:an=2n或an=-2n. ∴|an|=2n. ∴Sn=n(n+1). (8分)
∴==-.
∴Tn=1-+-+…+-=1-. (10分)
∴≤Tn<1. (12分)
5.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=(-1)n-1[答案] 查看解析
,求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
第 4 页 共 4 页
