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名密姓 号学 封
级年 线
业专 院学
重庆大学概率论与数理统计（重修）试卷
2008 课程试卷 ~2009 学年
第 二 学期 开课学院： 数理学院
考试日期： 2009年6 考试方式：
考试时间：120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分
一、 填空题（每空3分，共39分）
1、已知A，B两个事件满足条件P(AB)?P(A?B)，且P(A)?P，则P(B)?1-P 2、．一袋中装有4个红球3个白球，现不放回从中摸两个球，令A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到红球”。则P(B|A)= ；P(B)= 。
解： P(B|A) = 426?3；
P(B)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ?37?46?47?36?4 73 设P(A) = 0.6, P(B) = 0.25.
1) 如果A与B互斥，则P(AB)= ；P(A?B)= 。
2) 如果B?A，则P(AB)= ；P(A?B)= 。 解：1）
?AB??,B?AA?B?P(AB)?P(B)?0.25P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.752）如果B?A，
P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.6?0.25?0.35；
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(B)?1
4 设DX?25,DY?36,?XY?0.4 则COV(X,Y)? 12 ，D(2X?Y)? 88 5设XX(X1?X2)21,2,X3,X4是来自正态总体N(0,1)样本，则统计量Y?(X2? F（1，1） 3?X4)6设X?P(?)，其中?未知，则未知参数?的矩估计量???λ
7设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为
X 0 1 P 1 122
则随机变量Z?min(X,Y)的分布律为
解：
z 0 1 P 3 144
8设随机变量X与Y相互独立，且P{X≤1}=12，P{Y>1}=13，则 P{X≤1， Y≤1}= 13
二、 计算题（每小题7分，共35分）
1、设设随机变量X具有分布密度
?(x)???6x(1?x), 0?x?1?0, 其它 求：① EX；② DX； ③ P{|X?EX|?5D(X)} 解：
命题人： 组题人： 审题人： 命题时间：
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?1EX??x?(x)dx??6x2(1?x)dx?1??02?1DX??(x?EX)2?(x)dx????6x(x?1)2(1?x)dx102?201P{X?EX?5DX}?P{X?12?5120}?P{0?X?1}??6x(1?x)dx?10
2、设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的密度函数为
?(x,y)???Ax2y(2?y) , 0?x?2,0?y?2?0 , 其它
（１）求常数Ａ； （２）问Ｘ与Ｙ是否独立？ 解：（１）由密度函数的完备性可得
????22221????(x,y)dxdy???Ax2y(2?y)dxdy?A?x2dx32????000??y(2?y)dy?A?9 所以 Ａ＝
932。 （２）可先求出Ｘ与Ｙ的边缘密度，然后利用独立相关定理判断
???????0dy , x?0 或x?2?)???X(x???(x,y)dy???2??9?x2y(2?y)dy , 0?x?2??032?0 , x?0 或x?2 ????3?8x2 , 0?x?2 ???????0dx , y?0或y?2 ?(y)???(x,y)dx?????Y?2??9?x2y(2?y)dx , 0?y???2032?0 , y?0或y?2 ????3?4y(2?y) , 0?y?2 在?(x,y)的连续点处,显然有?(x,y)??X(x)?Y(y),所以X与Y相互独立
3 设总体X具有分布律：
P{X?k}?(k?1)?2(1??)k?2,k?2,3,...,0???1
(X1, X2, …, Xn)是X的样本，求未知参数?的极大似然估计量。
nL(x1,...,xn,?)??(xi?1)?2(1??)xi?2解：似然函数：
i?1n
?(?(x2ni?1))?(1??)nx?2ni?1对似然函数求极值： lnL?ln(?n(xi?1))?2nln??n(x?2)ln(1??)
i?1dlnL2n1d????n(x?2)1??=0 解方程，得：??L?2X。
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4 设X具有分布律：
X2 --1/2 0 2 4 P11111/8 /4 /8 /6 /3 2求（1）X+2；（2）-X+1；（3） X的分布律。
解：
X --0 2 4 2 1/2
X+2 0 3/2
2 4 6 -X+1
3 3/2
1
--
1 3
X2
4 1/4 0
4 16 P
11111/8 /4 /8
/6 /3
所以X+2的分布律为：
X+2 0 3/2 2 4 6 P 11111/8 /4 /8 /6 /3 所以-X+1的分布律为：
-3 3
--X+1
/2 1 1 3 P 11111
/8 /4 /8 /6 /3
所以2 X的分布律为：
X2 4 1/4 0 P
7/24 1/4 1/8
5、 将三个球随机地放入两个盒子里（每个盒子的球数不限），设X,Y分别表示放入第一
个盒子、第二个盒子里球的个数。
（1）求二维随机变量(X,Y)的联合分布律；
X 0 1 2 3 Y 0 0 0 0 1/8 1/8 1 0 0 3/8 0 3/8 2 0 3/8 0 0 3/8 3 1/8 0 0 0 1/8 1/8 3/8 3/8 1/8
（2）求(X,Y)的边缘分布律； (3)X与Y是否独立？为什么？ 不独立
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四 证明题（6分）
三．应用题（每小题10分，共20分）
1设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，
1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？
/4 设X和Y为连续型随机变量且相互独立并服从同一分布，试证P{X≤Y}=1。 2证明：因为X与Y相互独立，所以?(x,y)??X(x)?Y(y)，又X与Y服从同一分布
所以?X(x)??Y(y)，由X和Y为连续型随机变量得：
??x
P{X?Y}???X(x)?Y(y)dxdy???(x)dx??(y)dy设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B表示“迟到”，
已知概率P{B|Ai},i?1,2,3,4分别等于1/4，1/3，1/2，0 4则P{B)??P(A23i)P(B|Ai)?i120 \\ ?1P(A1)P(B|A1)P(B)?923，P(A|B)?P(A2)P(B|A2)1|B)?P(AP(B)?8223
P(AP(A3)P(B|A3)3|B)?P(B)?623，P(AP(A4)P(B|A4)4|B)?P(B)?0 \\ 由概率判断他乘火车的可能性最大。
。
2在正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量X?N(4.55,0.1082)。现在测了5炉铁 水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37。如果方差没变，问总体均值有无 变化(??0.05)？ (U0.975?1.96,U0.05??1.65)
解； H20：a?4.55，H1：a?4.55，方差已知?0?0.1082，H0的拒绝域为：
???x?4.550???U?5?u????x?a0?????0.9752?? ?0?0????u??1?0/n2?
??计算 x?4.364,U?3.851 查表u0.975?1.96
显然，经过计算知U?u0.975 因此拒绝H0，认为总体均值有显著变化。
x?y????????
???(x)F(x)dx?????F(x)dF(x)?1F(x)2|??1?2???2
