2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（ ） A． 1 B． ﹣ C． 1或0 D． ﹣或
2．已知圆C：x+2x+y=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（ ）
A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=0
3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（ ）
2
2
A．
π B． （12+4
）π C．
π D． （13+4
）π
4．下面说法正确的是（ ）
A． 命题“?x∈R，使得x+x+1≥0”的否定是“?x∈R，使得x+x+1≥0”
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B． 实数x＞y是x＞y成立的充要条件
C． 设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题 D． 命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题
5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β； ②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；
③存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α； ④存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α． 那么可以是α∥β的充分条件有（ C ） A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（ ）
2
2
A． 2
或 B． C． D． 2
7．已知命题p：函数f（x）=lg（ax﹣x+
2
a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜
1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D． 无解
8．已知抛物线y=x﹣1上的一定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]
C． （﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞） 9．椭圆
的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不
2
同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A． 10．过椭圆
上一点H作圆x+y=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l
2
2
B． C． D．
与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（ ） A． B． C． 1 D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置） 11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．
12．已知双曲线的方程为
﹣x=1，点A的坐标为（0，﹣
2
），B是圆（x﹣）+y=1
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上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为 ．
13．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ?
14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）+（y﹣2sinα）=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是 ．
2
2
15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l） ①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P，l）=；
②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；
③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}； ④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，
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l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x﹣y=0}． 其中正确的有 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）
16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．
17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BFD； （2）求三棱锥C﹣BGF的体积．
18．已知圆O：x+y=4和点M（1，a）．
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程； （2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直． ①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．
19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P． （1）求椭圆T的离心率；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：
+
+
为定值．
2
2
20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．
21．椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半
径的圆与直线x﹣y+=0相切． （1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．
=λ
，
=μ
，且λ+
