清华大学本科生考试试题专用纸 考试课程 微积分（II）(期中考试) A卷 2007年 5月 12 日 班级 姓名 学号 一、判断题（每题4分、共32分）：判断下列各题中所给论述的对错，在你认为正确的后面括号内画“√”、错误的后面括号内画“×”． 1．若对于任意的??0，总存在N?0，使得当n?N时，总有an?A??n成立，则 n??liman?A．[√ ] k2．数列{an}是Cauchy列的充分必要条件是它的任何一个子列{an}均是Cauchy列．[√ ] 3．函数f(x)在区间[a,b]上一致连续的充分必要条件是：存在L?0，使得对任意的 x1?[a,b],x2?[a,b]，都有f(x1)?f(x2)?Lx1?x2成立．[× ] 4．函数f(x)在区间[a,b]上不一致连续的充分必要条件是：存在??0，对任意的正整数n， 都存在xn?[a,b],yn?[a,b]，使得xn?yn?立． [√ ] 5．设{In}是一个区间序列，d(In)表示区间In的长度．若In?1?In(n?1,2,3,?)，且 n??1 与 f(xn)?f(yn)??同时成 nlimd(In)?0，则存在唯一的实数??In(n?1,2,3,?)．[× ] n??n??n??6．若数列{an},{bn},{cn} 满足 an?bn?cn，且liman,limcn存在，则limbn存 在．[ × ] bb7．如果广义积分?f(x)dx收敛，那么广义积分?f(x)dx也收敛．[ × ] aa1p?18．广义积分?x(1?x)q?1dx收敛的条件是p?0且q?0．[√ ] 0 第 １ 页/共２页
二、解答题（共68分） ??9．（12分）设k?0，证明?112(1?x)(1?x)1dx??0kxk(1?x)(1?x)2kdx，并求广义积分 ???01(1?x)(1?x)1t2kdx的值． 解：令x?，则 ???101dx??1(1?x2)(1?xk)1(1?11)(1?)t2tk(?1)dt ……………3分 2t1tkxk??dt??dx。 ……………5分 k2k0(1?t2)(01?t)(1?x)(1?x)1???01??111dx?dx?dx …………8分 2k2k2k??01(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)111xk1??dx?dx?dx ……………10分 k2k2??0(1?x2)(001?x)(1?x)(1?x)1?x1?arctanx10?n???4。 ……………12分 10．（12分）证明liman?A的充分必要条件是lima2n?A 且 lima2n?1?A． n??n??证：必要性：任给??0，因为liman?A，所以存在正整数N，使得当n?N时，有 n??an?A?? 成立， ……………2分 这时由于2n?n?N,2n?1?n?N，从而又有 a2n?A?? 和 a2n?1?A??成立， 根据极限定义便知 lima2n?A，lima2n?1?A。 ……………6分 n??n??充分性：任给??0，因为lima2n?A，所以存在正整数N1，使得当n?N1时，有 n??a2n?A?? 成立， ……………8分 又因为lima2n?1?A，所以存在正整数N2，使得当n?N2时，有 n??a2n?1?A?? 成立。 ……………10分 取N?max{2N1,2N2?1}，则当n?N时，有 an?A?? 成立， 根据极限定义便知 liman?A。 ……………12分 n?? 11．（12分）已知a1?1,an?1?1?1 (n?1,2,3,?)，证明极限liman存在，并求其值．ann??解：根据题设条件易知 1?an?2。 ……………2分 因为 an?2?an?1111?an?1?an?1???an?an?2?，所以??an?1an?1an?1an?1an?1anan?1an?2an?2?an 与 an?an?2 同号。 ……………5分 又因为 a3?a1?11?0,a4?a2???0，所以{a2n?1}是一个单调增加数列，{a2n}是一个23n??n??单调递减数列。根据单调有界有极限定理可知lima2n?1与lima2n都存在。 …………… 8分 记lima2n?1?A，lima2n?B，则 n??n??A?1?解得 A?B?11，B?1?， BA1?5， ……………10分 21?51?5，所以liman存在，且liman?。……………12分 n??22n??即lima2n?1?lima2n?n??n??注：不证存在性，直接求值且结果正确得4分。 12．（12分）用极限定义证明：若limg(x)?y0,limf(y)?A，且x?x0时，g(x)?y0，x?x0y?y0则limf(g(x))?A． x?x0证：任给??0，因为limf(y)?A，所以存在?0?0，使得当0?y?y0??0时，有 y?y0f(y)?A?? 成立， ……………4分 对于上述 ?0?0，由于limg(x)?y0，且x?x0时，g(x)?y0，所以存在??0，使得当x?x00?x?x0??时，有 0?g(x)?y0??0 成立， …………10分 从而 f(g(x))?A??成立，即limf(g(x))?A。 ……………12分 x?x013．（10分）求极限lim解：因为 的值． ?kn?1n??k?1knknknk3nnn1nk331nn3??????3， ……………4分 ?1n?1k?1nk?1k?1kn?1k?1n?kknk且 lim?3?n??k?1knkn112， ??3xdx?0nln3k11nnnnn12x， ……………8分 lim3?lim3??3dx????0n??n?1n??n?1nln3k?1k?1所以 lim k32。 ……………10分 ??n??kn?1ln3k?11在[a,b]上f(x)nkn14．（10分）若区间[a,b]上的可积函数f(x)满足f(x)?m?0，证明函数可积． 证：因为 1111所以对于区间[a,b]??f(x)?f(y)?2f(x)?f(y)，f(x)f(y)f(x)f(y)m1fk1f的任意划分 a?x0?x1???xn?b，均有 w?2wk(k?1,2,?,n)，其中wkf,wkfm分别表示11和f(x)在[xk?1,xk]上的振幅。 ……………4分 f(x)??0因为函数f(x)在区间[a,b]上可积，所以lim由 ?wk?1nfk?xk?0， ……………6分 10??w?xk?2mk?1及夹逼定理可知 lim??0n1fk?wk?1nfk?xk ?w?xk?0，故函数k?1n1fk1在[a,b]上可积． ……………10分 f(x) 第 ２ 页/共 ２ 页
