数系的扩充与复数的引入
知识要点梳理
知识点一：复数的基本概念
1．虚数单位:（1）它的平方等于
，即
；
的一个根，方程
的另一个根是
；
（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）的周期性： 2. 概念形如叫复数的虚部. 说明：这里3．复数的分类
容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. （
，
，
，
（（
）.
）；其中：叫复数的实部，
）的数叫复数，记作：
（）
表示；复数集与其它数集之间的关系：
4．复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母
5．复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当
时，复数时，复数且
时，复数时，复数
是实数； 叫做虚数；
（），
叫做纯虚数； 就是实数0.
6．复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果
，那么
（1）
.特别地: . 说明：
（2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
（4）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
6．共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数.复数轭复数记作：
（
）.
的共
知识点二：复数的代数表示法及其四则运算
1．复数的代数形式: 把复数表示成2．四则运算 设
，
（a，b，c，d∈R）
的形式，叫做复数的代数形式.
注意：复数除法通常上下同乘分母的共轭复数. 知识点三：复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数也
叫
高
（斯
平
）可用点面
，
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴
叫
做
实
轴
，
轴
叫
做
虚
轴
.
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数
复平面内的点
每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复
数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 2．复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点（2）向量表示:以原点长度叫做复数理解： （1）向量
与点
以及复数
一一对应；
为起点，点的模，记作
表示复数
为终点的向量.即
（
）；
表示复数
.
. 向量
的
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小. 3．复数加减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线
表示的向量就是
的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差
应的向量.
2012高考真题
1.【2012安徽1】复数z 满足(z?i)i?2?i，则 z = （ ） （A） ?1?i （B） 1?i （C） ?1?3i （D）1?2i 2.【2012新课标2】复数z＝
－3+i
2+i
的共轭复数是 （ ） （A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i
3.【2012山东1】若复数z满足z(2?i)?11?7i(i为虚数单位)，则z为（ ） (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 4.【2012浙江2】已知i是虚数单位，则
3?i1?i=（ ） A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i
5.【2012上海15】若1?2i是关于x的实系数方程x2?bx?c?0的一个复数根，则（ ）
A、b?2,c?3 B、b?2,c??1 C、b??2,c??1 D、b??2,c?3 6.【2012陕西4】设a,b?R，i是虚数单位，则“ab?0”是“复数a?bi为纯虚数”的（ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.【2012辽宁3】复数
11?i?（ ） (A) 12?1112i (B)2?2i (C) 1?i (D) 1?i
??8.【2012江西1】若复数z?1?i （i为虚数单位) z是z的共轭复数 ， 则z2+z2的虚部为（A 0 B -1 C 1 D -2
9.【2012湖南2】复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i10.【2012湖北12】.若
=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________.
11.【2012广东1】设i为虚数单位，则复数
3?4ii?（ ） A. ?4?3i B. ?4?3i C. 4?3i D. 4?3i 12.【2102福建1】复数（2+i）2等于（ ）
所对
） ）
A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i 13.【2102北京2】在复平面内，复数
10i对应的点的坐标为（ ） 3?i5?3i4?iA． (1 ,3) B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1) 14.【2012天津1】i是虚数单位，复数
=（ ）
（A）1-i （B）-1+I （C）1+I （D）-1-i
b?R，a?bi?15.【2012江苏3】设a，16.【2012上海1】计算：
11?7i（i为虚数单位），则a?b的值为 ． 1?2i3?i? （i为虚数单位） 1?i5i?（ ） （2011课标）（2）复数
1?2i（A）2?i （B）1?2i （C） ?2?i （D）?1?2i (2011全国理)(1)复数
2?i的共轭复数是 （ ） 1?2i（A）?i （B）i （C）?i （D）i
3535(2010课标)（3）已知复数z?3?i，则Z= （ ） 2(1?3i)(A)
11 （B） （C）1 （D）2 42
