复变函数复习提要 第1章：复数与复变函数
复数是用有序数对(x,y)定义的，其中x,y为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，(x,y)?(y,x)。
正如所有实数构成的集合用R表示，所有复数构成的集合用C表示，即
C?{z?(a,b):a,b?R}
复数的四则运算定义为
(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)
ac?bdbc?ad22,),c?d?0 (a,b)?(c,d)?(2222c?dc?d 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 z1?z2?z2?z1
②加法结合律 z1?(z2?z3)?(z1?z2)?z3 ③乘法交换律 z1?z2?z2?z1
④乘法结合律 z1?(z2?z3)?(z1?z2)?z3
⑤乘法对加法的分配律 z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3
(x,?y)称为z?(x,y)的共轭复数，记为z。x2?y2称为z?(x,y)的模，记为z。共轭复数满足 z?z?z,2z?z?Rez,2z?z?Imz 2i z1?z2?z1?z2 z1?z2?z1?z2 (z1z)?1,z2?0 z2z2z1． z2 例1 设z1?2?5i,z2?3?i，求
分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求
z1，在分子分母同乘z2，再利用i2??1，得 z2z1z1?z2(2?5i)(3?i)1?17i117?????i 2z2z2?z2101010z 1
例2 求复数A?(4?3i)(1?2i)的模．
(4?3i)(1?2i)解 令z1?4?3i,z2?1?2i，有
A?由共轭复数的运算结果得
z1?z2z1?z2
A?z1?z2z1?z2z2z1?z?2z1?z?z1?2z?1
1?z2 复数的三角式 z?r(co?s?isin?) （其中r?z） 复数的三角式 z?rei? 由此得如下关系式
z1?z2?ri?1e1?ri?i(?2e2?r1?r2e1??2)
zi?1r1e1 z?i??r1ei(?1??2),z2?0 2r2e2r2 zn?rnein? z1?z2?z1?z2
z1z?z1z,z2?0
22 Argz1(?z2)?Argz1()?Argz(2)
Argzz(1)?Argz1()?Argz(2)
2?2kπ 对于复数z?rei?，它的n次方根为nz?nrei?n(k?0,1,?,n?1)。 例3 求(1?i)8．
解 1?i?2eiπ4，故有
(1?i)?(2e)?(2)ei8?π8iπ4884?16ei2π?16
例4 设z?1?i，求4z．
2
解 因z?2e，故z?2,argz?iπ4?4i．于是，z的四个四次方根为
w0?82e w1?82e8π16i9π16 w2?2e w3?82ei17π16i25π16 z0点的?邻域为复数集合{z:z?z0??}，记为N(z0,?)。
z0点的去心?邻域为复数集合{z:0?z?z0??}，记为N*(z0,?)。 无穷远点的?邻域为复数集合{z:z??}，记为N(?,?)。
对于区域D，若D中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。
复变函数w?f(z)的定义类似于数学分析中实函数y?f(x)的定义，不同的是前者w?f(z)是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。
复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即 limf(z)?A?limRef(z)?ReA且limImf(z)?ImA
z?z0Rez?Rez0Imz?Imz0Rez?Rez0Imz?Imz0复变函数期末复习提要
第2章：解析函数
函数在一点可导的定义是
设函数w?f(z)定义在区域D内，z0?D,(z0??z)?D，若
limf(z??z)?f(z)
?z?z?0存在，则称此极限为函数f(z)在点z0的导数，记为f?(z0)，即 f?(z0)?lim?z?0f(z0??z)?f(z0) （2.1）
?z此时，称函数f(z)在点z0可导，否则，称函数f(z)在点z0不可导。 函数在一点解析的定义是
设函数w?f(z)定义在区域D内，z0为D内某一点，若存在一个邻域N(z0,p)，使得函数f(z)在该邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0解析。此时称点z0为函数f(z)的解析点。若函数f(z)在点z0不解析，则称z0为函数f(z)的奇点。 函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。
例1 试证：函数f(z)?Re(z)在复平面上处处不可导。
3
分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值。
证 对任意点z，因
f(z??z)?f(z)Re(z??z)?Re(z) ??z?z令?z??x?i?y，于是有
f(z??z)?f(z)?x ??z?x?i?y 由于上式当z??z沿平行于虚轴的方向趋于点z时（即?x?0,?y?0），其极限为0；
当z??z沿平行于实轴的方向趋于点z时（即?y?0,?x?0），其极限为1，所以
lim?z?0f(z??z)?f(z)
?z不存在，故f(z)在点z处不可导。
由点z的任意性，函数f(z)?Re(z)于复平面上处处不可导。
若函数f(z)?u(x,y)??iv(x,y)定义在区域D内，则函数f(z)在区域D内为解析函数的充分必要条件是：
⑴u(x,y)与v(x,y)在D内可微。 ⑵ux?vy,uy??vx在D内成立。
条件⑵称为柯西——黎曼条件或C.— R.条件。
函数f(z)在区域D内为解析函数的充分必要条件是： ⑴ux,uy,vx,vy在D内连续．
⑵ux?vy,uy??vx在D内成立．
例2 试证函数f(z)?z?1在复平面解析． 证 令f(z)?u?iv,z?x?iy，则 f(z)?z?1?x?iy?1 ?x?1?iy ?u?iv
于是
u?x?1 v?y 从而有
ux?1,uy?0 vx?0,vy?1
显然，ux,uy,vx,vy在复平面上处处连续，且满足C.— R.条件，故函数f(z)在复平面解析。 函数f(z)在区域D内为解析函数的充分必要条件是Im[f(z)]为Re[f(z)]的共轭调和函数。
例
3 设u(x,y)?x2?2xy?y2，试求以u(x,y)为实部的解析函数
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