习 题 四
(A)
1、设随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，对任意a,b,c,d（a?b,c?d），证明：
P(a?X?b,c?Y?d)?F(b,d)?F(a,d)?F(b,c)?F(a,c)。
解 P(a?X?b,c?Y?d)?P(X?b,c?Y?d)?P(X?a,c?y?d)
?F(b,d)?F(a,d)?F(b,c)?F(a,c)
2、一台仪表由二个部件组成，以X和Y分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设(X,Y)的分布函数为
?1?e?0.1x?e?0.01y?e?0.01(x?y),x?0,y?0F(x,y)??
0其他?求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。 解 P(120?X??,120?Y??)
?F(?,?)?F(120,?)?F(?,120)?F(120,120)?1?(1?e?1.2)?(1?e?1.2)?(1?e?1.2?e?1.2?e?2.4) ?e?2.4?0.09073、设X等可能的取1,2,3,4中的一个，Y等可能的取1,? ,X中的一个，求(X,Y)的联合分布及关于Y的边缘分布列。
X和Y的取值都是1,2,3,4，解 易见，且X取i的概率为
11,此时Y取1,?,i中一数j的概率为,4i因此P(X?i,Y?j)?
1,而当i?j时P(X?i,Y?j)?0。于是得到(X,Y)的联合分布： 4i关于Y的边缘分布列：
4、某射手，每次击中目标的概率为p(0?p?1)，射击进行到第二次击中目标为止，设Xi表示第i 1
次击中目标时所射击的次数(i?1,2)，求(X1,X2)的联合分布列、边缘分布。
解 P(X1?i,X2?j)?(1?p)i?1p(1?p)j?i?1p?p2(1?p)j?2 i?j
P(X1?i)?j?i?1j?1?p?2(1?p)j?2?p(1?p)i?1
P(X2?j)??p2(1?p)j?2?(j?1)p2(1?p)j?2
i?15、将一枚硬币抛3次，以X表示前2次出现正面的次数，以Y表示3次中共出现正面的次数，求(X,Y)的联合分布和边缘分布。
解 X的可能取值为0，1，2，Y的可能取值为0，1，2，3，则
P（X?0，Y?0）?P(Y?0)?(1/2)3?1/8
P（X?0，Y?1）?P(X?0)P(Y?1X?0)?(1/2)2(1/2)?1/8
P（X?0，Y?2）?P(X?0,Y?3)?0 P（X?1，Y?0）?P(X?1,Y?3)?0
1P（X?1，Y?1）?C2(1/2)1(1/2)?2/8?1/4
1P（X?1，Y?2）?P(X?1)P(Y?2X?1)?C2(1/2)2(1/2)?1/4
P（X?2，Y?0）?P(X?2,Y?1)?0
P（X?2，Y?2）?P(X?2)P(Y?2X?2)?(1/2)2(1/2)?1/8 P（X?2，Y?3）?P(X?2)P(Y?3X?2)?(1/2)2(1/2)?1/8
故(X,Y)的联合分布列及其边缘分布列如下表：
6、假设随机变量U在区间[?2,2]服从均匀分布，随机变量
??1 , 若U??1,? ?1 , 若U?1, Y?? X?? 1 , 若U?1． 1 , 若U??1；??
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求X和Y的联合概率分布．
解 随机向量(X,Y)有(?1,?1),(?1,1),(1,?1),(1,1)等4个可能值，
1P?X??1,Y??1??P?U??1,U?1??P?U??1??，4P?X??1,Y?1??P?U??1,U?1??P(?)?0，1
P?X?1,Y??1??P?U??1,U?1??P??1?U?1??，21P?X?1,Y?1??P?U??1,U?1??P?U?1??．4于是X和Y的联合概率分布为
?(?1,?1)(?1,1)(1,?1)(1,1)?11?． (X,Y)~?1??024??47、 假设一批产品中有4件不合格品和16件合格品，接连从中随机地抽出两件，以X和Y分别表示先后抽到不合格品的件数（0或1），试求，(1)X和Y的联合分布；(2) 由X和Y的联合分布求X和Y的概率分布．
解 (1) 按古典型概率公式分别计算(X,Y)取(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为值的概率，得
(0,1)?(0,0)?(X,Y)~16?1516?4??20?1920?19?(0,0)(0,1)(1,0)1616??60?9595?95(1,0)(1,1)?4?164?3??20?1920?19?．
(1,1)?3? ．?95?(2) X和Y都有0和1两个可能值，由全概率公式，有
4；5 4P{Y?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?．5由此得X和Y的概率分布列： 1 X 0 4/5 1/5 P
0 1 Y 4/5 1/5 P 8、 设随机变量X和Y各只有－1,0,1 等三个可能值，且同分布并满足条件：
P{X?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?1}?P?X??1??P?X?1??1． 4试求X和Y的联合分布，假设满足条件，(1) P?XY?0??1 ；(2) P?X?Y?0??1．
解 (1) 下面表中用黑体表示已知的概率，其中由条件P?XY?0??0得表心中的4个黑体“0”．从而不难求出表中的其他概率．
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X Y －1 0 1 －1 0 1 Σ 01/401/401/401/4 01/4 1/2 1/4 1 Σ 1/4 1/2 1/4 (2) 下面表中用黑体表示已知的概率，其中由条件P?X?Y?0??0得表心中的6个黑体“0”．从而不难求出表中的其他概率．
X Y －1 0 1 －1 0 1 001/401/41/2000Σ 1/4 1/2 1/4 1 Σ 9、设
1/4 1/2 1/4 X和Y是两个相互独立且分布相同的随机变量，其共同分布由下列密度函数给出
?2x,0?x?1，求P(X?Y?1)。 p(x)???0,其他解 (X,Y)的联合密度函数为
p(x,y)?p(x)p(y)??所以
P(X?Y?1)=
?4xy,0?x,y?1
?0,其他11?xx?y?1??p(x,y)dxdy??00?4xydxdy?1 610、 假设随机变量(U,V)的概率密度在以(?2,0),(2,0),(0,1),(0,?1)为顶点的四边形上为常数，而在此四边形之外为0；考虑随机变量
? ?1 , 若V?1/2,１,??1 , 若U??X?? Y??
1 , 若U??１； 1 , 若V?1/2 ．??(1) 试求X和Y的联合概率分布；
(2) 试求X和Y的联合分布函数．
解 以(?2,0),(2,0),(0,1),(0,?1)为顶点的四边形
－2 －1 v 1 1/2 －1/2 －1 O 1 2 u 是菱形，记作G．以f(x,y)表示(U,V)的概率密
(x,y)?G，其中c是常数．由概 度，则f(x,y)?c，
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