中档题型训练(六)
直角三角形的应用
解直角三角形的应用是遵义中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．
,中考重难点突破)
仰角、俯角问题
【例1】(宜宾中考)如图，CD是一高为4 m的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3 m到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
【解析】作CF⊥AB于点F，构造Rt△求解． 【答案】解：作CF⊥AB于点F，设AF＝x m， AF
在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，
CF∴CF＝
AFxx
＝＝＝3x，
tan∠ACFtanαtan30°
在Rt△ABE中，AB＝x＋BF＝(4＋x)m， AB
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝，
BE∴BE＝
ABx＋43
＝＝(x＋4)m.
tan∠AEBtan60°3
3
(x＋4)＝3. 3
∵CF－BE＝DE，即3x－
33＋4
解得x＝.
2
33＋433＋12∴AB＝＋4＝(m)．
2233＋12
答：树高AB是 m.
2
1．(2017新疆建设兵团中考)如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30 m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度．(结果保留根号)
解：过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，BC＝30 m， ∴CD＝BC·tan60°＝303 m， ∴乙建筑物的高度为303 m； 在Rt△AFD中，∠DAF＝45°， ∴DF＝AF＝BC＝30 m，
∴AB＝CF＝CD－DF＝(303－30)m， ∴甲建筑物的高度为(303－30)m.
方位角问题
【例2】(2017上杭中考)甲、乙两艘客轮同时离开港口P，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用15 min到达点A，乙客轮用20 min到达点B.若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，求乙客轮的航行方向．
【解析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出PA，PB，根据PA，PB，AB的长度，利用勾股定理的逆运用即可得出∠APB＝90°，结合∠NPA的度数即可求出∠SPB的度数，此题得解．
【答案】解：依照题意画出图形，如图所示．
PA＝40×15＝600，PB＝40×20＝800，AB＝1 000， ∵600＋800＝1 000， ∴PA＋PB＝AB，
∴△APB为直角三角形，且∠APB＝90°. ∵∠NPA＝30°，∴∠SPB＝60°， ∴乙客轮的航行方向为南偏东60°.
2
2
2
2
2
2
