2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
选择题:共40分
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014天津,理1)i是虚数单位,复数
=( ).
A.1-i
B.-1+i C. D.- i i 答案:A 解析:
- -
-
=1-i,故选A.
-
2.(2014天津,理2)设变量x,y满足约束条件 - - 则目标函数z=x+2y的最小值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5 答案:B
解析:画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分).
由z=x+2y,得
y=- x+ z, 作直线l:y=- x,平移l,由图形可知当l经过可行域中的点A(1,1)时,z取最小值,且zmin=1+2×1=3,故选B.3.(2014天津,理3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( ).
A.15 B.105 C.245
D.945
答案:B
解析:第一次执行循环体T=2×1+1=3,S=1×3=3,i=2;
第二次执行循环体T=2×2+1=5,S=3×5=15,i=3;
第三次执行循环体T=2×3+1=7,S=15×7=105,i=4. 这时满足i≥4,跳出循环,输出S=105,故选B.
4.(2014天津,理4)函数f(x)=lo (x2-4)的单调递增区间为( ).
A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)
1
答案:D
解析:由x2-4>0得x>2或x<-2,因此函数定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).
令t=x2-4,当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以y=lo (x2-4)随x的增大而增大,
即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D. 5.(2014天津,理5)已知双曲线
=1 C. =1
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线
l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直
线l上,则双曲线的方程为( ). A.
=1 D. =1
B.
答案:A
解析:由于双曲线焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.
又因为一条渐近线与l平行,因此=2,可解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分
∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是( ).
=1,故选
A.
6.(2014天津,理6)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线
A.①② 答案:D
B.③④ C.①②③
D.①②④
解析:由弦切角定理知∠FBD=∠BAD,
∵AD平分∠BAC,∠CBD=∠CAD,
∴∠BAD=∠DBC.
∴∠FBD=∠CBD,即BD平分∠CBF,∴①正确; 由切割线定理知,∴②正确;
由相交弦定理知,AE·ED=BE·EC,∴③不正确; ∵△ABF∽△BDF,∴
. ∴AF·BD=AB·BF,∴④正确.故选D.
7.(2014天津,理7)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 答案:C
解析:令f(x)=x|x|,则f(x)= 画出f(x)的图象(如图),易知f(x)在R上为单调递增函数,因此a>b?f(a)>f(b),
-
故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选C.
8.(2014天津,理8)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若 =1, =- ,则λ+μ=( ).
2
A. 答案:C
B. C. D.
解析:由于菱形边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.
· =1, 由
得( )·( )
= · · · · =2×2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120° =-2+4(λ+μ)-2λμ=1,
所以4(λ+μ)-2λμ=3. · =- ,得(2-2λ)·(2-2μ)· - =- ,所以λμ=λ+μ- , 由
因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+=3,
解得λ+μ=,故选C.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(2014天津,理9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 答案:60
解析:依题意知,应从一年级本科生中抽取
×300=60(名).
10.(2014天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.
答案:
解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为2,高为2;下部是一个圆柱,底面圆半径为1,高为4,故该几何体的体积V=·π·22·2+π·12·4=+4π=
.
11.(2014天津,理11)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 . 答案:- 解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+得2a1+1=0,解得a1=-.
12.(2014天津,理12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 . 答案:- 解析:由2sin B=3sin C,结合正弦定理得2b=3c,
又b-c=a,所以b=c,a=2c.
3
×(-1)=4a1-6,而
S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理
-
cos A=
由余弦定理得
- ==-.
13.(2014天津,理13)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为 .
答案:3
解析:由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r=2;
由ρsin θ=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于△AOB是等边三角形,所以圆心C是等边三角形OAB的中心,若设AB的中点为D(如图).
则
CD=CB·sin 30°=2×=1,即
a-2=1,所以a=3.
14.(2014天津,理14)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为 . 答案:(0,1)∪(9,+∞)
解析:在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=a|x-1|的图象,由图知,当a=0时,两函数的图象只有2个交点,当a<0时,两图象没有交点,故必有a>0.
若曲线y=-x-3x(-3≤x≤0)与直线y=-a(x-1)(x≤1)相切,联立方程得x+(3-a)x+a=0,则由Δ=0得a=1(a=9舍去),
2
2
因此当0 若曲线y=x2+3x(x>0)与直线y=a(x-1)(x>1)相切,联立方程得x2+(3-a)x+a=0,则由Δ=0可得a=9(a=1舍去), 因此当a>9时,f(x)的图象与y=a|x-1|的图象有4个交点,故当方程有4个互异实数根时,实数a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞). 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)(2014天津,理15)已知函数f(x)=cos x·sin cos2x+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在闭区间 - 上的最大值和最小值. 分析:(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式,化简函数解析式为一个角的三角函数的形式,再求周期. (2)可利用函数f(x)在区间 - 上的单调性求最值. 解:(1)由已知,有f(x)=cos x· 2x)+ sin 2x-cos 2x=sin - . 所以,f(x)的最小正周期T==π. (2)因为f(x)在区间 - - 上是减函数,在区间 - 上是增函数, f - =-,f - =-,f , cos2x+ sin x·cos x-cos2x+ sin 2x-(1+cos 4
