【例 18】 已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则
阴影部分的面积是 平方厘米．
AODAODBCEBCE
【解析】 连接AC．
由于ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，所以CE:AD?2:3，
根据梯形蝴蝶定理，S所以SAOCCOE:SAOC:SDOE:SAOD?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，
?6(平方厘米)，S??A6C?D9AOD?9(平方厘米)，又
SABC?S1(平方厘米)，阴影部分面积为6?15?21(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平
方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
A9214BEDA921CBO4
DEC
【分析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD根据蝴蝶定理，
?S?OAE．
S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36，故
S?OCD2?36，
所以S?OCD?6(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平
方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
A8162BEDA816CBO2EDC【解析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．
根据蝴蝶定理，
S?OCD?S?OAE??S?8?1，?6故OSC?E2?OADS?OCD2?16，所以S?OCD?4(平方厘米)．
另解：在平行四边形ABED中，S?ADE?1S2ABED1???16?8??12(平方厘米)， 2所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米)．
【例 19】 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8
平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．
AE25O8DF?BAE25O8F?BD
【解析】 连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以S?EOD?SC
FOC，又根据蝴蝶定理，
CS?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD，所以S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD?2?8?16，所以
S?EOD?4(平方厘米)，S?ECD?4?8?12(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12?2?24平方厘米，四边形OFBC的面积为24?5?2?8?9(平方厘米)．
?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，【例 20】 如图，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？
DKBEAGDKAG
【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形
ADBC中，?BDK和?ACK的面积是相等的．而AK:KB?1:3，所以?ACK的面
111积是?ABC面积的?，那么?BDK的面积也是?ABC面积的．
41?34由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．
1那么?BDK的面积为48??12．
4【例 21】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，
CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分m数，那么，(m?n)的值等于 ． nFCBEMFCAHDAHDEGEG
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图
中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．
1左图中AEGD为长方形，可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的，所以三角
4111形AMD的面积为12???．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以
24811左图中阴影部分的面积为1??4?．
82BFCBFCAHDAHDMEGENG
如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N． 可知EF∥AC且AC?2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的
BFCBFC1，所4111113以三角形BEF 的面积为12???，梯形AEFC的面积为??．
248288在梯形AEFC中，由于EF:AC?1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
31112:1?2:1?2:22?1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为?，那么?81?2?2?424111四边形BENF的面积为??．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所
824611以右图中阴影部分的面积为1??4?．
6311m3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为:?3:2，即?，
23n2那么m?n?3?2?5．
【例 22】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．
ADFBEGC【解析】 设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，
因此S△AFG?4份，S△ABC?9份，
所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9，
进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5
【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长．
ADBE
【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10
【巩固】如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，
AD?DF?FM?MP?PB，则
S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?
． 【解析】 设
CADEGS△ADE?1份，S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，因此S△AFG?4份，进而有S四边形DEGF?3份，同理有
BFMNQCS四边形FGNM?5份，S四边形MNQP?7份，S四边形PQCB?9份．
所以有
PS△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9
【例 23】 如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，
且DE:EC?1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG
ABABGFGFDECDECM
