由此得
将式（e）代入上式，得 并从而得
TT1?[?]， 2?[?] Wp1Wp2T1Wp1?d1?????T2Wp2?d2?3
d2?2d1
T1?M9， T2?? 8M
9 根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为
d1?d2316T1316M?? 2π[?]9π[?]4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a =300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。
题4-24图
解：这是一度静不定问题。 变形协调条件为
Δ1?Δ2 或 ?1??2
(a)
这里，??和??分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。 设二摇臂间的接触力为F2，则轴1和2承受的扭矩分别为
物理关系为
?1?T1lTl， ?2＝2GIp1GIp2aT1?F()?F2a， T2?F2a
2(b)
(c)
将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得
?2?T2l16Fal16?750?0.300?0.500m??4GIp2πG(d14?d2)π?80?109?(0.0124?0.0154)m4d2FF2?42(d14?d2)
?0.1004 rad?5.75??|?1|4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭力偶矩M作用。圆轴的
41
直径d=38mm，许用切应力[?1]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚?= 6mm，许用切应力[?2]= 40MPa，切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。
题4-26图
解：1. 解静不定
此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为 T1?T2?M
(a)
?1??2
(b)
物理关系为
?1?T1l1I， ?Tl2＝22G (c)
1p1G2Ip2将式(c)代入式(b)，并注意到 ??76?1276?0.8421， IπD44πd4p2?32(1??)， Ip1?32
得
G1Ip1l2GT2d424?384T1?2?4??4)?3T2?3?764(1?0.84214)T2?0.1676T2 (d)
2Ip2l1D(1将方程(a)与(d)联解，得
T2?0.856M， T1?0.144M
2．由圆轴的强度条件定M的许用值
?1max?T1W?16?0.144M?[p3?1] 1πd由此得扭力偶据的许用值为
[M]?πd3[?1]16?0.144?π?0.0383?80?106116?0.144N?m?5.99?103N?m?5.99kN?m
3.由套管的强度条件定M的许用值
?T2max?216?W?0.856MπD3(1??4)?[?2] p2由此得扭力偶据的许用值为 M]πD3(1??4)[?2]π?0.0763?(1?0.84214)?40?106[2?16?0.856?16?0.856N?m
?2.00?103N?m?2.00kN?m
结论：扭力偶矩的许用值为
[M]?[M]2?2.00kN?m
4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭力偶矩 42
M=100N·m作
用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[?s]=80MPa与[?c]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与
Gc=40GPa，试校核组合轴强度。
题4-27图
解：1. 求解静不定
如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程?Mx?0可知，
Ts?Tc
(a)
两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。 在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即
?s??c
(b)
设轴段AB的长度为l，则 ?s?TslG
sIps
?(M?Tc?c)lTl(M?2Tc)lG 2?cG ?
cIpccIpc22GcIpc将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为
Ts(M?I?2Tc)(c)
psI pc联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得
TIpsMs?Tc?Ipc?2I (d)
ps2．强度校核 Iπ(0.020m)4ps?32?1.571?10?8m4
Ipc?π(0.040m)4?32??1???0.035m?4?0.040m??????1.040?10?7m4 将相关数据代入式（d），得
Ts?Tc?11.6N?m
对于钢轴，
?sW?16(11.6N?m)s,max?T0.020m)3?7.38?106Pa?7.38MPa?[?s] psπ( 43
对于铜管，
?c,max?Tc,maxWpc?16(100N?m?11.6N?m)?1.70?107Pa?17.0MPa?[?c] 4?0.035m??π(0.040m)3?1????????0.040m?4-28 将截面尺寸分别为?100mm×90mm与?90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力偶矩
M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。
解：1. 求解静不定
此为静不定问题。在内管两端施加M0后，产生的扭转角为
?0?M0lGIpi (a)
去掉M0后，有静力学关系
几何关系为
物理关系为
?i?TlTil， ?e?eGIpiGIpeTi?Te
(b)
?i??e??0
(c)
(d)
将式(d)和式(a)代入式(c)，得 或写成 由此得
Te?IpeIpi(M0?Ti)?1.395(M0?Ti) TeM0?Ti?IpeIpiTlMlTil?e?0GIpiGIpeGIpi
(e)
联立求解方程(e)与(b)，得
Ti?Te?0.5825M0?1.165kN?m
2. 计算最大扭转切应力
内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为
?i,max?Ti16?1165N??2.17?107Pa?21.7MPa 342Wpiπ?0.090[1?(8/9)]m?e,max?Te16?1165N7??1.725?10Pa?17.25MPa Wpeπ?0.1003?(1?0.94)m24-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D = 100mm的圆周上，突缘的厚度为?=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M = 5.0kN·m，螺栓的许用切应力[?]=100MPa，许用挤压应力[?bs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。
44
