d2?(16m1/31/331/2316ml)?l2?()?0.775d1 π[?]5π[?](d)
该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。
4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[?]= 480MPa，试校核弹簧的强度。 解：由于
m?D40??5.71?10 d7故需考虑曲率的影响，此时，
8FD(4m＋2）8?1.00?103?0.040?(4?5.71?2)N?max?3?πd(4m?3)π?0.0073?(4?5.71?3)m2 ?3.72?108Pa?372MPa
结论：?max?[?]，该弹簧满足强度要求。
4-20 图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为?，横截面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为
?A/B?2Ml（dA?dB)22πG?dAdB
题4-20图
证明：自左端A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为 式中，
截面x的极惯性矩为 依据
d?T(x)4M??dxGIpGπ? (dA?cx)33Ip?2πR0d?dA11R0(x)?(dA?Bx)?(dA?cx)
2l2c?dB?dA l13πδ??2π? [(dA?cx)]?(dA?cx)3 24
得截面A和B间的扭转角为
4M?A/B?πG??
?2Ml112Ml(dA?dB)
?(2?2)?2πGδ (dB ?dA)dBdAπGδd2AdBd(dA?cx)?2M?2l?(d?cx)| 0A 0c(d?cx)3πGδcA l4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。
37
题4-21图
(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。
设A与B端的支反力偶矩分别为MA和MB，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知
MA?MB
由?Mx?0可得 MA?MB?2MA?2M
即
MA?MB?M
(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，示如图4-21b。
图4-21b
变形协调条件为
?B?0
(a)
利用叠加法，得
?(2a)MB?MaMB(3a)GI?GI? (b)
ppGIp将式(b)代入式(a)，可得 M1B?3M
进而求得
M1A?3M（转向与MB相反）
(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到
MA?MB?ma2
MA和MB的转向与m相反。
(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势不难判断，反。
变形协调条件为
?B?0
(c)
利用叠加法，得到（x从左端向右取）
38
MB的转向与m相
?B??B,m??B,MB?? am(a?x) 0GIpMB(2a)ma22MBadx???GIp2GIpGIp (d)
将式(d)代入式(c)，可得 进而求得
MA的转向亦与m相反。
MB?ma 4MA?ma?MB?3ma 44-22 图示轴，承受扭力偶矩M1=400N?m与M2=600N?m作用。已知许用切应力[?]=40MPa，单位长度的许用扭转角[?]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。
题4-22图
解：1.内力分析
此为静不定轴，设B端支反力偶矩为MB，该轴的相当系统示如图4-22a。
图4-22
利用叠加法，得
?B?1GI[400?0.500?600?1.250?MB?2.500] p将其代入变形协调条件?B?0，得
?(600?1.250?400?0.500)N?m2MB2.500m?220N?m
该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见，
Tmax?380N?m
将其代入扭转强度条件， ?Tmax?maxW?16Tmax?[?] pπd3由此得
39
16Tmax316?380m3d???0.0364m?36.4mm 6π[?]π?40?1033.由扭转刚度条件求d 将最大扭矩值代入 得
d?4Tmax32Tmax??[?] GIpGπd432TmaxπG[?]?432?380?180m4?0.0577m?57.7mm
π?80?109?0.25π结论：最后确定该轴的直径d?57.7mm。
4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[?]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。
题4-23图
解：1. 求解静不定
设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为
?Mx?0, MA?MB?M?0
(a)
AC与CB段的扭矩分别为
代入式（a），得
T1?T2?M?0 T1?MA， T2??MB
(b)
设AC与CB段的扭转角分别为?AC与?CB，则变形协调条件为
?AC??CB?0
(c)
利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有
?AC?T1aGIp1， ?CB?2T2aGIp2
代入式（c），得补充方程为
?d?T1?2?1?T2?0
?d2?4(d)
最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得
2d14MT1?4d2?2d144d2， T2??4M4d2?2d1 (e)
2. 最轻重量设计
从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求
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