戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考·高考 高中数学专用讲义 主讲：胡老师
专题、随机变量离散型事件
1 基础知识 1、相互独立事件
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立. 2．相互独立事件同时发生的概率：P(A?B)?P(A)?P(B)
事件A1,A2,?,An相互独立， P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An) 3.互斥事件与相互独立事件是有区别的：
互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但而互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。
如果A、B相互独立，则P（A+B）=P（A）+P（B）―P（A?B）
4.独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验.
5．独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中．．．．．．
这个事恰好发生K次的概率:Pn(k)?CnkPk(1?P)n?k
2、离散型随机变量的分布列
1.随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作ξη等；
若ξ是随机变量，??a??b，其中a,b是常数，则?也是随机变量.如出租车里程与收费.
2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。
离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。 3. 离散型随机变量的分布列：
设离散型随机变量?可能取的值为x1,x2,……xi…，且P(ξ=xi)=pi，则称
ξ p x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … 为随机变量?的分布列。
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质： ①P(ξ=xi)=pi≥0；②p1+p2+……=1
(2)求分布列的方法步骤：①确定随机变量的所有取值; ②计算每个取值的概率并列表。
4. 二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数?是一个随机变量，其所有可能取的值为0，1，2，3，…，n，并且P(ξ=k)=Cnkpkqn-k（其中k=0,1,2,…,n，p+q=1）,即分布列为
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戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考·高考 高中数学专用讲义 主讲：胡老师 ξ P 0 Cn0p0qn n-11 Cn1p1q … k … n … Cnnpnq0 Cnkpk… n-kq 称这样的随机变量?服从参数为n和p的二项分布，记作：?~B(n,p).
5.几何分布：如：某射击手击中目标的概率为p,则从射击开始到击中目标所需次数?的分布列为
ξ 1 2 3 … k … … P p qp q2p … qk-1p 这种种分布列叫几何分布,记作g(k，p)= qk-1p，其中k＝0,1,2,…，q=1-p．
3、离散型随机变量的期望与方差
1.平均数及计算方法
(1)对于n个数据x1，x2，…，xn，x=
1（x1+x2+…+xn）叫做这n个数据的平均数， n(2)当数据x1，x2，…，xn的数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，x=x? +a.
(3)如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么xf?x2f2???xkfkx=11,叫加权平均数.
n2.方差及计算方法
(1)对于一组数据x1，x2，…，xn，
1s2=［（x1－x）2+（x2－x）2+…+（xn－x）2］叫做这组数据的方差，而s叫做标准差.
n(2)方差公式: s2=
1［（x12+x22+…+xn2）－nx2］ n(3)当数据x1，x2，…，xn中各值较大时，可将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2
1－a，…，xn′=xn－a则s2=［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－nx?2］
n3.随机变量的数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … … 则称 Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn… 为ξ的数学期望，简称期望.也叫平均数,均值. (1)数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)期望的一个性质:E(aξ+b)=aEξ+b
（3)求期望的方法步骤： ①确定随机变量的所有取值;②计算第个取值的概率并列表; ③由期望公式计算期望值。
4. 方差: Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+…
(1) 标准差:Dξ的算术平方根D?叫做随机变量ξ的标准差，记作?? (2)方差的性质： D(aξ+b)=a2Dξ; Dξ=E(ξ2)-(Eξ)2
(3)方差的求法步骤：①求分布列; ②求期望; ③由公式计算方差。
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随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 5.会用求和符号Σ:如Eξ=
?i?1?xi pi，Dξ=
?i?1?（xi－Eξ）2pi，
6.二项分布的期望和方差：若ξ～B(n，p)，则Eξ=np, D??np(1-p) 7.几何分布的期望和方差：若ξ服从几何分布g(k，p)= qk?1p，则E??11?p ，D?? pp22 重点点拨
【例1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
12，乙每次击中目标的概率为,求： 23（Ⅰ）甲恰好击中目标2次的概率；（Ⅱ）乙至少击中目标2次的概率；（Ⅲ）乙恰好比甲多击中目标2
次的概率.
3. 8202221323. （II）乙至少击中目标2次的概率为C3()??C3()?33327解：（I）甲恰好击中目标2次的概率为C3()?2312（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件.
1013111323113?C3()?C3()?C3()???. 323218961 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.
6小试身手：
P（A）=P（B1）+P（B2）?C3()?2223111.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准
63合格的概率为
A.
1，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） ( ) 5
B.
4 9
1 90 C.
4 5 D.
5 92 (2005天津)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 （ ）
A．
81 125B．
54 125C．
36 125D．
27 125【例2】已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品。需要从中取出2个正品，每次从中取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ。
解：P(??2)?8728??； 1094582728714P(??3)???????；
109810981528141P(??4)?1???。
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ξ的分布列表略——
E?＝2?P(??2)?3?P(??3)?4?P(??4)?22。 9我连练一练：
1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( )
A.5 B.9 C.10 D.25
12.已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=k，k=1，2，…，则P（2<ξ≤4）等于
23111A. B. C. D. 164165【例3】在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制
某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，
（Ⅰ）写出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）. （Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ.（要求写出计算过程或说明道理）. 解：（I）ξ的分布列为 ξ 1 P 2 3 4 5 6 7 8 9 115 115 215 215 315 215 215 115 115 （II）由ξ的定义得
E??(1?2?8?9)?123?(3?4?6?7)??5??5. 151515我来显身手：
1.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一
个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A.9.4, 0.484 B．9.4, 0.016 C．9.5, 0.04 D．9.5, 0.016
2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是 ( ) A.Eξ=0.001 B.Dξ=0.099
C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910
－k
kD.P（ξ=k）=C10·0.99k·0.0110k
－
3 当堂检测
C,k?1,2,3,4,5,6，其中C为常数，则P(??2)的值k23166364为（ ）A. B. C. D.
46463212.设随机变量?的概率分布列是P(??k)?3.在15个村庄中有7个交通不方便，现从中任意选出10个村庄，用?表示这10个村庄中交
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