高中数学《求解函数解析式的几种常用方法》专题复习高分冲刺技巧例解及考点能力强化训练
高考要求
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮
助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力
重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有
1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解
f(x);
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法
典型题例示范讲解
例1 (1)已知函数f(x)满足f(logax)=
aa?12(x?1x) (其中a>0,a≠1,x>0),
求f(x)的表达式
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的
表达式
命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应
法则，以及计算能力和综合运用知识的能力
知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域
错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错
技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=logax(a>1,t>0;0 因此f(t)=∴f(x)= aa?12 (a－a) t－t aa?12 (ax－a－x)(a>1,x>0;0 (2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c 1?a?[f(1)?f(?1)]?f(0)?2?1?得?b?[f(1)?f(?1)] 2??c?f(0)??并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为 222 f(x)=2x－1 或f(x)=－2x+1 或f(x)=－x－x+1 或f(x)=x2－x－1 或f(x)=－x2+x+1 或f(x)=x2+x－1 例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象 命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此，分段函数是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲 线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发 生混乱 技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式 解 (1)当x≤－1时，设f(x)=x+b ∵射线过点(－2，0) ∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2 (2)当－1 2 ∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a·(－1)+2,即a=－1 ∴f(x)=－x2+2 2 (3)当x≥1时，f(x)=－x+2 ?x?1,x??1?综上可知 f(x)=?2?x2,?1?x?1作图由读者来完成 ??x?2,x?1? 例3已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1) 解法一 (换元法） ∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1 令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u ∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)－(2－u)－1=2u－7u+5(1≤u≤3) ∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4) 解法二 (配凑法） 22 f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5 2 ∴f(x)=2x－7x－5(1≤x≤3), 即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4) 考点能力强化巩固训练 1 若函数f(x)= mx4x?3(x≠ 34)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( ) 32A 3 B C － 32 D －3 2 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,则x>1时f(x)等于( ) A f(x)=(x+3)－1 C f(x)=(x－3)2+1 2 B f(x)=(x－3)－1 D f(x)=(x－1)2－1 2 3 已知f(x)+2f( 1x)=3x,求f(x)的解析式为_________ 4 已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________ 5 设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1， 在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式 6 设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间 ［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式 若矩 形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值 7 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发 DPC顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图 PAB 8 已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是 二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5 (1)证明 f(1)+f(4)=0; (2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式； (3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式
