矩阵分析复习题
一、设Vr是n维线性空间Vn的一个r维子空间，?1,?2,?,?r是Vr的一组基，证明这组向量必可扩充为整个空间的基。即，在Vn中必可找到n?r个向量
?r?1,?r?2,?,?n，使得?1,?,?r,?r?1,?,?n是Vn的一组基。
二、设V1,V2是线性空间V的子空间，证明：
dim(V1?V2)?dim(V1)?dim(V2)?dim(V1?V2). 三、设V1与V2分别是齐次线性方程组
x1?x2???xn?0
和 x1?x2???xn
的解空间。（1）确定V1与V2的维数并求出一组基；（2）证明Rn?V1?V2。
四、设V1,V2是线性空间V的两个子空间，证明以下论断等价： （1）V1?V2是直和；
（2）零向量分解式唯一（即，若?1??2?0,?1?V1,?2?V2,则?1??2?0.）； （3）V1?V2??0?；
（4）dim（V1?V2）=dim（V1）+ dim（V2）. 五、在R3中，变换T(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)， （1）证明T是线性变换；
（2）求T在基?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)下的矩阵。 六、在线性空间Cn[x]中，取两组基
1,x,x2,?,xn （Ⅰ）
1,x,12x,?,2!1nx （Ⅱ） n!D为微分算子。（1）求由（Ⅰ）到（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求线性变换D在两
组基下的矩阵。
?122???七、设A??212?
?221???（1）求A的特征值与特征向量；
（2）矩阵A是否与对角矩阵相似？如与对角矩阵相似，写出矩阵P，使
P?1AP为对角形。
八、设A?(aij)是一个n阶正定矩阵，而??(x1,x2,?,xn)T，
??(y1,y2,?,yn)T，在Rn中定义内积为(?,?)??TA?，试证明在这个定义下，
Rn为欧氏空间。
九、在闭区间?a,b?上的所有实连续函数所构成的线性空间C?a,b?中，对于函数f(x),g(x)定义内积为
(f,g)??f(x)g(x)dx
ab证明C?a,b?在这个定义下为欧氏空间。
十、设
?0?0?A?????0???an100?an?1010?an?20??0?????1???a1???，
f(?)??n?a1?n?1???an?1??an，
（2）在什么情况?i(i?1,2,?,n)为f(?)的根. （1）求A的特征值与特征向量；
下矩阵A与对角矩阵相似？如与对角矩阵相似，写出矩阵P，使P?1AP为对角形；（3）求A的特征矩阵的不变因子，并写出特征矩阵的Smith标准形。
10?3???4?10十一、求矩阵 A??002??00?1?0??0?的Jordan标准形。 1??0??十二、设函数矩阵
?sint?sintA(t)???t?1?其中t?0，求limA(t)，
t?0costet0t??2t?， ?3?t?ddA(t)，A(t)。 dtdt十三、证明limxp???p?x?。
其中，xp与x?分别是Cn中向量的p?范数与??范数。
十四、设y?是Cm上的一种向量范数，给定矩阵A?Cm?n，且矩阵A的n个列向量线性无关，对任意x?(x1,x2,?,xn)T?Cn，规定
x??Ax?，
证明x?是Cn中的向量范数。
