故二面角B—AP—C的大小为arctan2……………………………12分 31.【2012高考福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点. （Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长.
【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.
解答：
（Ⅰ）长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?1
得：AD1?A1D,AD1?A1B1,A1D?A1B1?A1?A1D?面A1B1CD
B1E?面A1B1CD?B1E?AD1
（Ⅱ）取AA1的中点为P，AB1中点为Q，连接PQ 在?AA1B1中，PQ// 此时AP?11A1B1,DE//A1B1?PQ//DE?PD//QE?PD//面B1AE 2211AA1? 22H，连接AH （Ⅲ）设A1D?AD1?O，连接AO，过点O作OH?B1E于点
AO ?面A1B1CD，OH?B?AH?B11E1E 得：?AHO是二面角A?B1E?A1的平面角??AHO?30 在Rt?AOH中，?AHO?30,?AOH?90,AH? 在矩形A?2 1B1CD中，CD?x,AD1 S?B1OE????26 ?OH?221x1212x2x??2????x????22222223x2 81x26 ??2???x?2
242 得：AB?2
32.【2012高考北京理16】（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. (I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
——13——
【答案】解：（1）?CD?DE，A1E?DE
?DE?平面A1CD，
又?AC?平面A1CD， 1?DE ?AC1又A1C?CD， ?平面BCDE。 ?AC1（2）如图建系C?xyz，则D??2，0，0?，A0，0，23，B?0，3，0?，E??2，2，0?
???????????∴A1B?0，3，?23,A1E???2，?1，0?
???设平面A1BE法向量为n??x，y，z?
?3?????z?y????3y?23z?0??A1B?n?02则????? ∴? ∴? ??????2x?y?0?x??y?A1E?n?0??2?∴n??1，2，3
zA1 (0,0,23)ME (-2,2,0)yB (0,3,0)??D (-2,0,0)C (0,0,0)x又∵M?1，0，3 ?????∴CM??1，0，3
??????????CM?n1?342???∴cos?????? ??2|CM|?|n|1?4?3?1?32?22，
∴CM与平面A1BE所成角的大小45?。
（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为?0，a，0?，则a??0，3?
????????则A1P?0，a，?23，DP??2，a，0?
?????设平面A1DP法向量为n1??x1，y1，z1??3z?ay???ay1?23z1?0?161则? ∴? ??x??1ay?2x1?ay1?011??2???∴n1??3a，6，3a
。
，
??假设平面A1DP与平面A1BE垂直， ????则n1?n?0，∴3a?12?3a?0，6a??12，a??2，
∵0?a?3，∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。
33.【2012高考浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
——14——
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
【答案】(Ⅰ)如图连接BD． ∵M，N分别为PB，PD的中点， ∴在?PBD中，MN∥BD． 又MN?平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； (Ⅱ)如图建系：
A(0，0，0)，P(0，0，26)，M(?32，32，0)， N(3，0，0)，C(3，3，0)．
设Q(x，y，z)，则CQ?????(x?3，y?3，z)，CP?????(?3，?3，26)． ∵CQ??????CP?????(?3?，?3?，26?)，∴Q(3?3?，3?3?，26?)． 由???OQ?????CP?????OQ?????CP??0，得：??1
3
．
即：Q(233，2，263)． 对于平面AMN：设其法向量为?n?(a，b，c)． ∵????AM??(?33????2，2，0)，AN=(3，0，0)．
??a?3?3?3则???????AM???n?0??1????AN??????n?0??a?3b?0?22?b?． ?3a?0?3??c?0?∴?n?(33，13，0)．
同理对于平面AMN得其法向量为v??(3，，1?6)． 记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为?， ?则cos???n??v10n??v?5．
∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为105． 34.【2012高考重庆理19】（本小题满分12分 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
——15——
（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离;
（Ⅱ）若AB1?AC1求二面角 的平面角的余弦值.
【命题立意】本题考查立体几何的相关知识，考查线面垂直关系、二面角的求法以及空间向量在立体几何中的应用.
C?BC解：（1）由A的距离为CD?,D为AB的中点，得CD?AB，又CD?AA故1，
CD?面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1BC2?BD2?5 (2)如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1,则DD1∥AA1∥CC1,又由（1）知CD?面A1ABB1，故，所以?A1DD1为所求的二面角A1?CD?C1的平面角。 CD?ACD?D1D1D因A1D为AC在面A，由三垂线定理的逆定理得AB1?A1D，从而11ABB1上的射影，又已知AB1?AC1?A1AB1,?A1DA都与?B1AB互余，因此?A1AB1??A1DA，所以Rt?A1AD?Rt?B1A1A，因此，
2即AAA1B1?8,得AA1?22。 1?AD?AA1A1B1,?ADAA1从而A1D?AA12?AD2?23,所以，在Rt?A1DD1中，cosA1DD1?DD1AA16。 ??A1DA1D335.【2012高考江西理19】（本题满分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
解：（1）证明：连接AO，在?AOA1中，作OE?AA1于点E，因为AA1//BB1，得OE?BB1,
因为AO?平面ABC，所以AO?BC,因为AB?AC,OB?OC, 11得AO?BC,所以BC?平面AAO,所以BC?OE, 1所以OE?平面BB1C1C, 又AO?得AE?A1B1 E x
A y B O z C1
AB?BO?1,AA1?5, 22AO5 ?AA152(2)如图所示，分别以OA,OB,OA1所在的直线
为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0)
C ????1????4242由（1）可知AE?AA1得点E的坐标为(,0,)，由（1）可知平面BB1C1C的法向量是(,0,)，设平面A1B1C55555——16——
