第一讲 立体几何
一、基本知识点
1．平面的基本性质
（1）公理1：A?a,B?a,A??,B???a??；
（2）公理2：设A??,A??，则平面?,?相交于过点A的一条公共直线；
（3）公理3：设A,B,C为不共线的三点，则A,B,C三点确定一个平面。 公理3是确定平面的依据，它的推论是“过直线和直线外一点确定一个平面”，“过两条相交（平行）直线确定一个平面” 2．直线和平面的位置关系
（1）直线与直线：分为共面（相交或平行）直线与异面直线两大类；
（2）直线和平面：分为线面平行、线面相交（含线面垂直）和直线在平面内三种情形； （3）平面与平面：分为面面平行与面面相交两类。 3．面积和体积问题
计算几何体的表面积和体积问题，是立体几何中一类较常见的综合问题，往往需要运用立体几何中的多种知识、概念和方法。对较复杂的几何体计算其表面积时，先要将几何体是由哪些面围成弄清楚，每个面又分别是什么形状，以保证计算准确无误。在求复杂几何体的体积时，有时将图形补成规则几何体，或将其剖分成几个规则几何体；对四面体（三棱锥）体积计算时注意利用等积法。补形法、剖分法和等积法是计算体积的非常有效的方法 （1）球的表面积：S球?4?R2,R为球的半径；
1Sh,S为其底面积，h是它的高； 31（3）外切于半径为r的球的多面体的体积为V?rS，S为多面体的表面积
343（4）球的体积：V??R,R为球的不半径
3（2）锥体的体积：V?一、典型例题讲解
例1．（1）若有两两不共面的三条直线，则空间中与它们都相交，但其中任何两条都不共面的直线有 条
（2）空间四边形的四条边和两条对角线共6条直线中，互相垂直的直线共有 对
（3）如果空间三条直线两两异面，则与它们都相交的直线有 条
（4）在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是
（5）如果一条直线上有某个正方体内部的点，就称这条直线穿过这个正方体。现用
n3(n?2,n?N)个棱长为1的小正方体堆成一个棱长为n的大正方体，那么一条直线能穿
过的小正方体个数最多有
（6）若干个棱长为2,3,5的长方体，依相同的方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿小长方体的个数是
1
（7）以正方体的8个顶点、12条棱的中点、6各面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是
（8）空间有9个点，其中任4点不共面，在这9个点间连接若干条线段，使得图中不存在四面体，则图中最多有三角形的个数是
（9）空间有4个不共面的定点，以这4个点为顶点的平行六面体的个数是
（10）一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
（11）四面体的顶点和各棱的中点中，共面得四点组数是
（12）在正方体的8个顶点中，每两点连成一条直线，在所有这些直线中，异面直线的对数一共有
（13）由正方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点为顶点所确定的所有四面体中，每个表面三角形都为直角三角形的四面体的个数为 （用数字作答）
（14）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并且同一条棱的两端点异色。如果只有5中颜色可供选择，那么不同的染色方法的总数是
（15）从正方体的12条棱和各面的12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，则n的最大可能值为
（16）有6中不同的颜色给正方体的各个面着色，使不同的面涂上不同的颜色。如果将正方体旋转之后出现某种涂色方案一样，则应认为是同一种涂法。那么，不同的涂法共有 种
（17）以五棱柱ABCDE的顶点为顶点的四棱锥共有 个
（18）将一个正方体分割为n个不重叠的四面体，则n的最小值是
例2．（1）给定下列两个关于异面直线的命题：
命题一、若平面?上的直线a与平面?上的直线b为异面直线，直线c是?,?的交线，那么c至多与a,b中的一条相交；
命题二、不存在这样的无穷条直线，它们中的任意两条都是异面直线。则此两命题的真假情况是
（2）设a,b是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，P是MN上异于M,N的一点，A,B分别是a,b上的点，则?ABC是 三角形
2
（3）空间中不全在一个平面上的有限点集M，它具有如下性质：对任意的A?M，总有C?M和D?M，使得直线AB和CD是彼此平行的两条不同直线。则M中点的个数可以是
（4）用一个平面截正方体的一个角，截面为?ABC，过顶点P作PO?平面ABC，垂足为O，记M?1111??,N?，则M,N的大小关系是 PA2PB2PC2PO2
（5）设四棱锥P?ABCD的底面不是平行四边形，现用平面去截此四棱锥，得到截面四边形A'B'C'D'，则截面四边形A'B'C'D'是平行四边形的个数是
（6）在正方体的表面正方形的对角线所在直线中存在异面直线，如果其中两条异面直线间的距离为1，那么这个正方体的棱长为
（7）在长方体的相邻三个面中，有两个面得对角线长分别为4和5，则第三个面得对角线长的取值范围是
例3．如图，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为过正方体表面正方形ABCD，
BCC1B1，A1B1C1D1，A1D1DA的 中心的圆上的一动点，Q为正方形 ABCD的内切圆上的一动点，R为 过顶点B,C,D1,A1的圆上的一动点， 则PQ?QR的最小值为（ ）
13?2a B．a
222?13?1C．a D．a
22A．
例4．ABCD?A'B'C'D'是正方体，任作平面?与对角线AC'垂直，使得?与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则有（ ） A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
例5．空间中有不共面的n个点（n?4），求证：存在无穷多个平面，恰好通过其中的两个点
3
例6．平面????l，在平面?,?内分别给出不在直线l上的两点A,C。求作一个以AB和CD为两底的等腰梯形ABCD，使之能作一内切圆，并要求点B在平面?内，点D在平面?内
例7．如图，三棱锥P?ABC的底面ABC与圆锥SO的底面圆O都在平面?内，且圆O过点A，又圆O的直径AD?BC，垂足为E，设三棱锥P?ABC的所在棱长都是1，圆锥SO的底面直径和母线长也都是1，求圆锥的顶点S到三棱锥三个侧面的距离 PS C
E OD A B
?AVB??BVC??CVD??DVA?30?，例8．侧棱长为43的正四棱锥V?ABCD中，
过A作截面AEFG与棱分别交于E,F,G点，则截面四边形AEFG的周长的最小值为多少？
例9．长方体的长、宽、高分别为a,b,c(a?b?c)，沿着长方体的表面由对角线的一个端点到另一个端点的最短路线的长为多少？
例10．直角三角形ABC所在平面内有一条过直角顶点C的直线l，且三角形在l的一侧，求?ABC以l为轴旋转一周所得旋转体体积V的最大值。
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