1?1?∴loga???
2?2?∴a?∴
21,又∵0?a?1， 161?a?1. 16评注：以“形”代算，技巧性很强，通过图形的直观显现，答案直接跃然纸上.
3．转化与化归思想
所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.
转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说转化与化归是数学思想方法的灵魂.
例9 对任意的m?2，函数f(x)?mx2?2x?1?m恒负，则x的取值范围为 . 分析：本题如果以x为主元，给解题带来了很大的难度，而如果以m为主元，就为解题找到了一个新的突破口.对任意的m?2，有mx?2x?1?m?0恒成立，等价于m?2时，(x2?1)m?2x?1?0恒成立.
解： 设g(m)?(x2?1)m?2x?1，则有
2?2x2?2x?3?0?g(?2)?0? 即?2. ???g(2)?0?2x?2x?1?0解得
7?13?1. ?x?22评注：当一个题中有多少个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量
作为参数处理，逐步减少参数使问题获得解决.
22例10已知a?0，且a?1，求使方程loga(x?ak)?loga2(x?a)有解的k的取值
范围.
解： 原方程有解等价于：
?x?ak?0?x?ak?0?22x?a?0? ??222?(x?ak)?x?a?(x?ak)2?x2?a2?由(x?ak)2?x2?a2 得 2kx?a(1?k2)
当k?0时，由a?0 知 2kx?a(1?k2)无解，故原方程无解.
a(1?k2)当k?0时，2kx?a(1?k)的解是，x?
2k2a(1?k2)a(1?k2)?ak?0， 把x?代入x?ak?0 得
2k2k(k?1)(k?1)?0.
k可解得k??1或0?k?1
即
综上可知，当k在(??,1)?(0,1)内取值时，原方程有解.
评注：对于含参数的指数方程与对数方程，在求解时，注意把原方程等价地转化成某个混合组，并注意在等价转化的原则下化简求解.
1?2x?4xa例11 设f(x)?lg，其中a?R，如果当x?(??,1]时，f(x)有意义，
3求a的取值范围.
解：当x?(??,1]时，f(x)有意义，故1?2?4a对一切x?(??,1]恒成立.
xx?1?两边同除以4，得???2?x2x?1?????a?0，x?(??,1]. ?2?x1?1?令，t???，t≥，g(t)?t2?t?a.
2?2?因为f(x)有意义的充要条件是二次方程g(t)?0在[,??)内无实根，即
x121?1?1g()?????a?0 2?2?2解得a??23?3?，即a的取值范围为??,??? 4?4?评注：对某些问题，巧妙地进行变量代换，经适当整理后可使问题转化为关于某变量 的
方程形式，此时用方程的思想方法来解，就会达到事半功倍的效果.
4．函数与方程思想
函数思想指运用函数的概念和性质，通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去
分析、研究问题，转化问题和解决问题.方程思想是通过对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，将问题化归为方程的问题，利用方程的性质、定理，实现问题与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的.
例12已知不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为{x|??x??,0????}，求不等式cx?bx?a?0的解.
解：考虑利用同解不等式求解
由ax?bx?c?0， ①
22cx2?bx?a?0 ②
?1??1?∵x?0，由②得 a???b???c?0 ③
?x??x??1??1?考虑a???b???c?0 ④
?x??x?换元后与①同解，即??221?? x而③与④的不等号相反，又0???? ∴③的解为即x?
11??或??
xx11
?或x??
∴不等式cx?bx?a?0的解集为{x|x?21?或x?1?}
2评注：一元二次不等式ax?bx?c?0的“解在两边”可判断出a?0，不等式
cx2?bx?a?0与变号后的不等式x2?bax??0同解，但应注意选择“在两边”还是cc“在中间”，应以后者“小于”为准.解得的根含参数时，应注意讨论两个根的大小.
例13等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 A．30 B．170 C．210 D．260
分析：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成为n的一次函数(公差d?0时)，而其求和公式可以看成是n的二次函数.因此，许多数列问题可以用函数与方程的思想进行分析，加以解决.根据Sn与n满足函数关系式：Sn?an2?bn求解
解：∵{an}为等差数列，∴设Sn?an2?bn，∴Sm?am?bm?30，
2S2m?4am2?2bm?100
得a?2010b?，， 2mm∴S3m?9am2?3mb?210
例14已知等差数列?an?，首项a1?0，且S3?S10，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？
解：由题意得
11113169?1?Sn?na1?n(n?1)d?na1?n(n?1)??a1???a1(n?)2?a1
22612248??∴当n?6或n?7时，S6?S7?7a1为最大. 2例15对任意函数f(x)，x?D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x0?D，经数列发生器输出x1?f(x0)；
②若x1?D，则数列发生器结束工作；若x1?D，则将x1反馈回输入端，再输出
x2?f(x1)，并依此规律继续下去，再定义f(x)?发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；
4x?249.(1)若输入x0?，则由数列x?165(2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列，试求输入的初始数据x0的值；
(3)若输入x0时，产生无穷数列{x0}满足：对任意正整数n，均有xn?xn?1，求x0的取值范围.
解： (1)∵f(x)的定义域D?(??,?1)?(?1,??)， ∴数列{xn}只有三项：x1?111，x2?，x3??1. 195输入 输出 打印 No 4x?22(2) ∵f(x)?，即x?3x?2?0
x?1∴x?1或x?2
即当x0?1或2时，xn?1?f 4xn?2?xn，
xn?1故当x0?1时，xn?1；当x0?2时，xn?2(n?N*)
xi?D 结束
Yes 4x?2x2?3x?2?0 (3)解不等式x?，∴
x?1x?1
