* *
4?(R?d)3?5.40?10?3m3 3 临界质量：m??V?77.8kg
所以实际临界体积为：V?12.试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值，即热中子通量密度的不均匀系数:
（1）半径为R的球形堆，反射层节省为?T；
（2）半径为R，高度为H的圆柱形堆，反射层节省分别为?r和?H； （3）边长为a,b,c的长方形堆，反射层节省分别为?x,?y,?z。 解：可利用裸堆的结论，球：
KH,bare?4?R3/3sin(r)4?r2dr0R?2R3?KH?()
3R??T?R??3.27
圆柱：KH,bare??R2H2/H2.405cos(z)dzJ(??2/HH?00Rr)2?rdrR2H?KH?3.62()()
R??rH?2?HR??3.62
立方体： KH,bare?abccos(x)dx?cos(y)dy?cos(z)dz?b/2?c/2abc?3aaa ?KH?()()()
8a?2?xa?2?ya?2?z?a/2?a/2?b/2?c/2???38?3.88
详细推导：据97页4-1裸堆的通解形式可得： 球：?(r)?Asin(1r?R??Tr)
?max???cos(r)??1?R??T??????A ?lim?Asin(r)??lim?Ar?0r?0R??T?1R??T?R??T??r????2?V?4?R3/3
?V?dV?A?d??sin?d??00?R??T0rsin(?R??Tr)dr
?A2?(?cos?)|0
??R??T0rsin(???r)d??cos(r)?
R??TR??T???R??TR???R??T????R??T?T?4?A??rcos(r)|0?()d?cos(r)??0???R???R???T??T?* *
?R???(R??T)2?T2 ?4?A??0??()cos(x)dx??4A(R??T)2
0?????4?R3A?maxR??T3?2R3 KH???() 214A(R??T)3R??T?dV?VV2.405? 圆柱：?(r,z)?AJ0(r)cos(z)
R??TH?2?z2.405? ?max?limAJ0(r)cos(z)?A
r?0R??TH?2?zz?0 V??R2H
?V?dV?A?d??02?R??r0rJ0(2/H2.405?r)dr?cos(z)dz
?2/HR??TH?2?z?R??T?2/H2.405?R??rH?2?z??)rJ1(r)?|0sin(z)??|?2/H
R??T??H?2?z??2.405?(R??T)2H?2?z?0.5191??2?0.863337A(R??T)2(H?2?z) ?A2?2.405? ?A2??(
KH??max1V?VA?R2HR2H??3.64()() 2R??TH?2?z?dV0.863337A(R??T)(H?2?z) 立方体：?(x,y,z)?Acos(?a?2?xx)cos(?a?2?yy)cos(?a?2?zz)
?????x)cos(y)cos(z)??A ?max?lim?Acos(x?0a?2?xa?2?ya?2?z??y?0??z?0V?abc
?V?dV?A?a/2??x?a/2??xcos(?a?2?xx)dx?b/2??y?b/2??ycos(?b?2?yy)dy?c/2??z?c/2??zcos(?c?2?yz)dz
?A?2?(a?2?xb?2?yc?2?z2)()()?A()3(a?2?x)(b?2?y)(c?2?z)
????KH?
?max1V?Aabc2A()3(a?2?x)(b?2?y)(c?2?z)??3?V?dV?abc)()()
8a?2?xb?2?yc?2?z(I16.设有如图4-9所示的 一维无限平板反应堆。中间区域（I）的k??1，厚度2b为已知，II两侧区域（II）的k??1，试用单群理论导出确定临界尺寸a的公式及临界时中子通量
密度的分布。说明尺寸b对临界尺寸有无影响及其理由。
* *
解：以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系，对两区分别建立单群稳态扩
散方程（由于几何上的对称性，对于本体只需考虑一侧，如X为正一侧）：
I??Ik??1 ???I,0?x?b 方程1 22?xLIII??IIk??1 ???II,b?x?b?a 方程2
?x2L2II22 边界条件：i. ?I(b)??II(b); ii. ?II(b?a)?0
由表3-1查得方程1的通解：?I(x)?AIcosBIx?CIsinBIx
其中第二项明显有悖于对称性条件，故CI?0，同理有：?II(x)?AIIcosBIIx （由于本体是求解临界尺寸，默认的前提是几何曲率等于材料曲率，故以下不再
对其进行区别，统一用B表示）
有条件ii可得：AIIcosBII(b?a)?0?BII整个系统的临界条件为：
2?2(a?b)
keff=中子率/（中子泄漏率+中子吸收率）=1
即：
keff?
??bx?a?bIvIRIfdV??vIIRIIfdVIIIIaIIIIa?JdS??RdV??vIIRdVbIab?aIIa?IIIIk???dx?kaI???0bb?abII?a?IIdxb?a??b?ab??IIdx????Idx??02bIab??IIdxIIa?1???
b?a??IIdx????Idx??0b?ab2b??IIdx?kbI?0???Idx?kIab?aII?b?II?a?IIdx2?DIIBII?2II?(k?1)?a/DII ?BIIbII?IIII?IIdx?(k??1)??a?Idx?(k??1)?0b?abIIII?a?IIdx?(k??1)?b?abII?a?IIdx???DII?2bIIII(k??1)?a2 （注意，此处的泄露仅仅是II区外表面上的泄露，I?II区之间的净流动时通过对通量分布产生影响从而作用于泄漏率的）
可见，临界尺寸a与b负相关，从物理上的理解：由于I区增值性质弱于II区，故存在由II区向I区的净流动，相当于II区的泄露。I区尺寸越小，则这一泄露越弱，此时的临界尺a最小。但不要认为ab之和为固定常数！这里用几何曲率只是考虑基波，求出的a+b相当于同一材料曲率下最小的临界尺寸，而实际对于任意n平方倍的几何曲率，临界条件都可以满足。 由条件i可得：
????b?A?AcosBb?Acos?IIIIIII?? II?2a?2b?k??1?BI?k??1/LI?0??AIcosBIb?AIIcosBIIb* *
中子通量密度分布为：
?II(x)?AIIcos???x???b?,?(x)?AcosII?I??，
2a?2b2a?2b????其中AII由临界时的功率条件确定。
17. 设有高度为H（端部无反射层）径向为双区的圆柱形反应堆，中心为通量密度展平区，
要求中子通量密度等于常数，假定单群理论可以适用。试求： （1）中心区的k?应等于多少？ （2）临界判别式及中子通量密度分布。
解：自己设定材料有关参数，以几何中心为原点建立坐标系：
I?2?I1??I?2?Ik? ??2??2?I,0?r?b 方程1 2?rr?r?zLIII?2?II1??II?2?IIk? ??2??2?II,0?r?b 方程2
?r2r?r?zLIIIII?1，而k? 由于I区进行了通量展平，即?I??0为常数，易知k?必须大于1.
??I??|x?b?DIIII|x?b ?x?x iii. ?II|r?a?0 iv. ?II|x??H/2?0
边界条件： i. ?II|r?b??0; ii. DI
