?x?(0,1)，
f(x)?2(x?x33)成立；
?x3?1?，等价于（Ⅲ）使f?x??k?x??成立，x??0，3??1?xx31?； F(x)?ln?k(x?)?0，x??0，1?x32kx4?2?k2， F?(x)??k(1?x)?221?x1?x当k?[0,2]时，F?(x)?0，函数在（0，1）上位增函数，F(x)?F(0)?0，符合题意；
(x)?0,x0当k?2时，令F?4?k?2?(0,1)， kx0 0 极小值 x (0,x0) - (x0,1) + F?(x) F(x) ? ? F(x)?F(0)，显然不成立，
综上所述可知：k的最大值为2.
考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.
19.【2015高考广东，理19】设a?1，函数f(x)?(1?x2)ex?a． (1) 求f(x)的单调区间 ；
(2) 证明：f(x)在???,???上仅有一个零点；
(3) 若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平
行（O是坐标原点）,证明：m?3a?2?1． e【解析】（1）依题f'?x??1?x2'ex?1?x2∴ f?x?在???,???上是单调增函数； （2）∵ a?1，
?????e?'??1?x?x2ex?0，
∴ f?0??1?a?0且f?a??1?a2ea?a?1?a2?a?0， ∴ f?x?在?0,a?上有零点，
又由（1）知f?x?在???,???上是单调增函数，
??f?x?在???,???上仅有一个零点；
（3）由（1）知令f'?x??0得x??1，又f??1??22???a，即P??1,?a?， ee??∴ kOP2?a?022?e?a?，又f'?m???1?m?em，
?1?0e
【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识．
【2015高考湖南，理21】.已知a?0，函数f(x)?esinx(x?[0,??))，记xn为f(x)的从小到大的第n(n?N)个极值点，证明： （1）数列{f(xn)}是等比数列 （2）若a?*ax1e?1ax2，则对一切n?N*，xn?|f(xn)|恒成立.
（1）f'(x)?aesinx?ecosx?e(asinx?cosx)?其中tan??axaxa2?1eaxsin(x??)
1?，0???，令f'(x)?0，由x?0得x???m?，即x?m???，a2m?N*，
对k?N，若2k??x???(2k?1)?，即2k????x?(2k?1)???，则f'(x)?0， 若(2k?1)??x???(2k?2)?，即(2k?1)????x?(2k?2)???，则f'(x)?0， 因此，在区间((m?1)?,m???)与(m???,m?)上，f'(x)的符号总相反，于是 当x?m???(m?N)时，f(x)取得极值，∴xn? n???(n?N*)， 此时，f(xn)?e a?n????*sin(n???)?(?1)n?1e a?n????sin?，易知f(xn)?0，而
f(xn?1)(?1)n?2e ????sin?ax???e是非零常数，故数列?f(xn)?是首项为an?????n?1f(xn)(?1)e sin?a?n?1????（2）由（1）知，sin??f(x1)?e a?n????sin?，公比为?eax的等比数列；
1a?12，于
是对一切n?N*，xn?|f(xn)||恒成立，即n????1a2?1e a?n????恒成立，等价于
a2?1e a?n????（?）恒成立（∵a?0）， ?aa?n????etet(t?1)设g(t)?(t?0)，则g'(t)=，令g'(t)?0，得t?1， 2tt当0?t?1时，g'(t)?0，∴g(t)在区间(0,1)上单调递减； 当t?1时，g'(t)?0，∴g(t)在区间(0,1)上单调递增，
从而当t?1时，函数g(t)取得最小值g(1)?e，因此，要是（?）式恒成立，只需
a2?1111?g(1)?e，即只需a?，而当a?时，tan???e2?1?3，aae2?1e2?1且0????2，于是
????*2?3??e2?1，且当n?2时，n????2?????e2?1，因此对一切32a2?1，故（?）式亦恒成立. n?N，axn??1，∴g(axn)?g(1)?e?2ae?1n???综上所述，若a?1e2?1，则对一切n?N*，xn?|f(xn)|恒成立.
【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.
