7.7极限的运算法则（1）
教学目标设计：
知识与技能：初步掌握数列极限的四则运算法则，会利用这些法则计算数列极限； 掌握三个基本极限公式，并利用它们求与其有关的一些数列极限.
过程与方法：会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若 干个极限存在的数列的代数和.
情感态度价值观：感知数学源于生活又服务于生活，发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，注重学生观察，分析以及等价转换的思维情感变化. 教学重点：数列极限的运算法则 教学难点：运算法则的运用条件与推广 教学过程： 一、复习引入 1、数列极限的定义 2、数列极限的三个常用结论 3、较为复杂的数列极限问题：
引例：计算由抛物线y?x2、x轴以及直线x=1所围成的区域的面积S.
见课本P40：S?limSn?limn??n??数列极限的运算性质. 二、讲授新课
1、数列极限的运算性质：
(n?1)(2n?1)
6n2要计算这一极限的值，仅凭极限的定义来确定是不方便的.为此，下面介绍
如果liman?A,limbn?B,那么
n??n??(1)lim(an?bn)?liman?limbn?A?B;
n??n??n??(2)lim(an?bn)?liman?limbn?A?B;
n??n??n??limanAan(3)lim()?n???(B?0). n??blimbnBnn??推论：(4)lim(C?an)?limC?liman?C?A.（C为常数）
n??n??n?? (5)lim(an)k?(liman)k?Ak. （k为常数）
n??n??(6)lim(kan)?(liman)?kA. （k为常数）
n??n??1k2、对性质（1）中的加法的说明：有限项；无限化有限
1、 性质表明：
如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应各项的和、差、积、商所组成的数列也都有极限，其极限值分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商. 注意：（1）前提“每个数列都有极限”，在运用性质前先判断；
（2）可推广到有限个数列的情况，如三个、五个…，但必须是有限个. 三、例题讲解
例1、已知liman?5,limbn?3,求lim(3an?4bn).
n??n??n??解：因为liman?5,limbn?3，
n??n??所以 lim(3an?4bn)?lim3an?lim4bn?3liman?4limbn?15?12?3
n??n??n??n??n??
例2、求下列极限：
2n2?n3n3?n123n?2 (1)lim(2?). (2)lim. (3)lim. (4)lim. 242n??n??n??nn??3n?22n?nnn解：(1)lim(n??12121?)?lim?lim?0?2lim?0?0?0. 22n??n??n??nnnnn3n?2221?lim(3?)?lim3?lim?3?2lim?3?0?3.
n??n??n??nnnn??n??n(2) (方法一)lim(方法二)∵n→∞，∴n≠0.分子、分母同除n的最高次幂.
lim3n?2?limn??n??n3?22lim(3?)n?n??n?3?3. 1lim11n??第二个题目不能体现“分子、分母同除n的最高次幂”这个方法的优势.这
道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是3n2+2，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.
111lim(2?)lim2?lim2n?nn?n??n?n??n??n?2?0?2. ?lim(3)lim2n??3n?2n??2223?2lim(3?2)lim3?lim23?03n??n??nnn??n22?规律一：一般地，当分子与分母是关于n的次数相同的多项式时，这个公式
在n→∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比. (4)分子、分母同除n的最高次幂即n4，得.
3131?3lim?lim33n?nnn?n??nn??n?0?0?0. lim4?limn??2n?n2n??112?2lim2?lim22?0n??n??nn3规律二：一般地，当分子、分母都是关于n的多项式时，且分母的次数高于
分子的次数时，当n→∞时，这个分式极限为0.
例3、求下列极限.
n2?33n?2?33n?1?5?n). (2)lim(1)lim(. (3)lim.
n??n?1n??n??n?1n?1?23n?3n?3?n?n?n?3n?1. ?n)?lim?lim?lim解：(1)lim(n??n?1n??n??n?1n??1n?11?n222?1?2?3n?2?3n (2)lim?limn??n?1?2n??11??n3?3n?3?0?3.
1?02n315315?2?lim?2?limn??n??n3n?1?50?0nnnnn (3)lim?lim???0.
n??n??11n?11?01?lim1?limn??n??nn说明：当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，
上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在 2?2n?5(n?1)(2n?1)?;（3）lim练习：1 计算：（1）lim?7??;（2）lim. 2n??n??n??nn6n??答案：⑴7 ⑵2 ⑶1/3
n2?5n?75n2?3n?13n?2;（3）lim(n?). 2、计算：（1）lim;（2）limn??n??3?4n?2n2n??2n?3n?135答案：⑴ ⑵? ⑶通分4
22四、归纳有理型（分式型）数列的极限：
方法一：裂项； 方法二：
规律一：一般地，当分子与分母是关于n的次数相同的多项式时，这个公式在n→∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.
规律二：一般地，当分子、分母都是关于n的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n→∞时，这个分式极限为0.
说明：当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在
五、小结 ：1、数列极限的运算性质，（1）条件；（2）运算；（3）推
广。2、四个重要极限。
六、练习：书42/7.7（3） 七、作业：
八、教后感：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的和或积是成立的 求数列极限的一种
主要的方法就是分子、分母同除以n的最高次幂.并且记住两条规律.这两条规律，可以提高极限运算的速度，还可以检验是否算对了.
