（1）旋转操作——旋转轴 （2）反映操作——镜面 （3）反演操作——对称中心 （4）旋转反演操作——反轴 （5）平行操作——点阵 （6）螺旋旋转操作——螺旋轴 （7）反映滑移操作——滑移面 由表可见，晶体结构比分子结构增加了（5）—（7）3类对称元素和对称操作。晶体结构因为是点阵结构，其对称元素和对称操作要受到点阵制约，对称轴轴次为1，2，3，4，6。螺旋轴和滑移面中的滑移量只能为点阵结构所允许的几种数值。
【7.8】根据点阵的性质作图证明晶体中不可能存在的五重对称轴。
解：若有五重轴，由该轴联系的5个点阵点的分布如图8.8。连接AB矢量，将它平移到E，矢量一端为点阵点E，另一端没有点阵点，不合点阵的定义，所以晶体的点阵结构不可能存在五重对称轴。
图8.8
【7.9】分别写出晶体中可能存在的独立的宏观对称元素和微观对称元素，并说明它们之间的关系。
解：宏观对称元素有； 1,2,3,4,6,i,m,4。 微观对称元素有：
1,2,21,3,31,32,4,41,42,43,6,61,62,63,64,65,i,m,a,?b,c?,n,d,4,点阵。 微观对称元素比宏观对称元素多相应轴次的螺旋轴和相同方向的滑移面，而且通过平移操作其数目是无限的。
【7.10】晶体的宏观对称操作集合可构成多少个晶体学点群？这些点群分属于多少个晶系？这些晶系共有多少种空间点阵型式？晶体的微观对称操作的集合可构成多少个空间群?这些空间群分属于多少个点群？
解：32个晶体学点群，7个晶系，14种空间点阵型式，230个空间群，这些空间群分属于32个点群。
【7.11】从某晶体中找到C3、3C2、?h和3?d等对称元素，则该晶体所属的晶系和点群各是什么？
解：六方晶系，因为C3??h?6。点群是D3h。
【7.12】六方晶体可按六方柱体（八面体）结合而成，但为什么六方晶胞不能划分六方柱体？
解：晶胞一定是平行六面体，它的不相平行的3条边分别和3个单位平移矢量平行。六方柱体不符合这个条件。
【7.13】按下图堆砌而成的结构为什么不是晶体中晶胞并列排列的结构？
解：晶胞并置排列时，晶胞顶点为8个晶胞所共有。对于二维结构，晶胞顶点应为4个晶胞共有，才能保证晶胞顶点上的点有着相同的周围环境。今将团中不同位置标上A，B如图8.13b所示，若每个矩形代表一个结构基元，由于A点和B点的周围环境不同(A点上方没有连接线、B点下方没有连接线)，上图的矩形不是品胞。晶胞可选连接A点的虚线所成的单位，形成由晶胞并置排列的结构，如图8.13b所示。
图8.13a 图8.13b
【7.14】已知金刚石立方晶胞的晶胞参数a?356.7pm。写出其中碳原子的分数坐标，并计算C?C键长和晶体密度。
解：金刚石中碳原子分数坐标为：
1111111113313131330,0,0;,,0;,0,;0,,;,,;,,;,,;,,222222444444444444。
?111??,,?0,0,0??C－C键长可由及?444?两个原子的距离求出；因为立方金刚石
a?b?c?356.7pm
rC?C?1??1??1???a???b???c??4??4??4? 22233a??356.7pm44 ?154.4pm 密度D?ZM/NAV
???8?12.0g?mol/6.02?10mol?123?1?/?356.7?10?10cm?3cm ?3.51g?
标
为
?3
【7.15】四方晶系的金红石晶体结构中，晶胞参数a?458pm，c?298pm；原子分数坐
：
Ti?0,?0，
,O?0.31,0.31,0;0.69,0.69,0;0.81,0.19,1/2;0.19,0.81,1/2?。计算z值相同的Ti?O键
长。
解：z值相同的Ti－O键是Ti?0,0,0?和O?0.31,0.31,0?之间的键，其键长rTi?O为：
rTi?O??0.31a???0.31a?22?0.438a?0.438?458pm ?201pm
【7.16】许多由有机分子堆积成的晶体属于单斜晶系，其空间群记号为C2h?P21/c，说明该记号中各符号的意义。利用图8.3.2中P21/c空间群对称元素的分布。推出晶胞中和原子（0.15，0.25，0.10）属同一等效点系的其他3个原子的坐标，并作图表示。
55CC?P2/cC2h2h12解：在空间群记号中，为点群Schonflies记号，h为该点群的第5
5号空间群，“—”记号是空间群的国际记号，P为简单点阵，对单斜晶系平行b轴有21螺旋轴，垂直b轴有c滑移面。该空间群对称元素分布如下：
b轴从纸面向上
1（0.15，0.25，0.10）；3（0.15，0.25，0.60）； 2（0.85，0.75，0.40）；4（0.85，0.75，0.90）
图8.16
【7.17】写出在3个坐标轴上的截距分别为-2a，-3b和-3c的点阵面的指标；写出指标为（321）的点阵面在3个坐标轴上的截距之比。
?111??::???3:2:2?解：点阵面指标为三个轴上截数倒数的互质整数之比，即?2?3?3?，点阵
面指标为
?322?或?322?。
指标为?321?的点阵面在三个轴上的截距之比为：2a：3b：6c。
【7.18】标出下面点阵结构的晶体指标?100?，?210?，每组面话出3条相邻的直线表示。
?120?，?210?，?230?，?010?。
解：
图8.18
【7.19】金属镍的立方晶胞参数a?352.4pm，试求d200，d111，d220。 解：立方晶系的衍射指标hkl和衍射面间距dhkl的关系为： 故：
12?2dhkl?a?h?k?l2212?2?
d200?a?22??1a?176.2pm2
12?2d111?a?1?1?12??a/3?203.5pm
d220?a?22?2
12?2??a/8?124.6pm【7.20】在直径为57.3mm的相机中，用CuK?射线拍金属铜的粉末图。从图上量得8对粉末线的2L值为：44.0，51.4，75.4，90.4，95.6，117.4，137.0，145.6mm。试计算下表各栏数值，求出晶胞参数，确定晶体点阵型式。 序号 2L/mm ?/?0? sin2? h2?k2?l2 hkl ?2/4a2 解：由L求?可按下式：
??
?L?度?
180?2L180?2?L?mm???度?4?R4???57.3mm?/2
