当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k，过定点(－2,0)，不合题意． 当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k，过定点(1,0)，符合题意． 综上，直线PQ过定点(1,0).
1．定点问题的求解策略
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
2．定值问题的求解策略
定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.
『对接训练』
1?1?2．[2019·甘肃兰州诊断]已知曲线C上的任意一点到直线l：x＝－的距离与到点F?，0?2?2?的距离相等．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A，B两点，Q(－1,0)为定点，设直线AQ的斜率为
k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：2＋2－2为定值．
k1k2kp12
解析：(1)由题意知，曲线C是焦点为F的抛物线，可设其方程为y＝2px(p>0)，则＝，22p＝1，
∴曲线C的方程为y＝2x.
(2)根据已知，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
??y＝k?x－1?，由?2
??y＝2x2
2
112
2
可得ky－2y－2k＝0.
2
2?y1??y2?2
设A?，y1?，B?，y2?，则Δ＝4－4k(－2k)＝4＋8k>0，y1＋y2＝，y1y2＝－2.
k?2??2?∵k1＝
2y1y22y2
＝2，k2＝2＝2， yy1＋2y2y2＋2＋1＋122
21
y1
- 5 -
?y1＋2??y2＋2?
∴2＋2＝＋ 22
k1k24y14y2
1
1
?y1＋2?y2＋?y2＋2?y1＝ 22
4y1y2
2422222y41y2＋y2y1＋8y1y2＋4?y1＋y2?＝ 22
4y1y2
2
22
2
22
2222
8?y1＋y2?＋32＝ 16?y1＋y2?－2y1y2＋4＝ 2＋8＝ 24
2
22
k22
＝2＋4.
k112
∴2＋2－2＝4，为定值．
k1k2k
考点3 圆锥曲线中的存在性问题
y2x21
[例3] [2019·湖北宜昌调研]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为
ab2
23.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A(0,4)的直线l与椭圆C交于M，N两点，F是椭圆C上的焦点．问：是否存在直线l，使得S△MAF＝S△MNF？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
c1222
【解析】 (1)由题可得＝，b＝3，又a＝b＋c，
a2
∴a＝4，b＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)由题可知直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋4，M(x1，y1)，
2
2
y2x2
N(x2，y2)，
y＝kx＋4，??22
联立方程，得?yx＋＝1，??43
得(3k＋4)x＋24kx＋36＝0，
22
- 6 -
?24k?x＋x＝－，②
3k＋4∴?36
xx＝??3k＋4.③
1
2
2
12
2
Δ＝?24k?2－144?3k2＋4?>0，①
∵S△MAF＝S△MNF，∴M为线段AN的中点， ∴x2＝2x1.④
将④式代入②式得x1＝－
8k，⑤ 2
3k＋4
182
将④式代入③式得x1＝2，⑥
3k＋4362
将⑤式代入⑥式得k＝.⑦
5将⑦式代入①式检验成立， ∴k＝±
65，
∴存在直线l：6x－5y＋45＝0或6x＋5y－45＝0， 使得S△MAF＝S△MNF.
求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
『对接训练』
x2y23
3．[2019·河北石家庄教学质量检测]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且
ab2
经过点?－1，
?
?3??. 2?
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(3，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，
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使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解析：(1)由题意可得＝2
2
2
2
ca313
，2＋2＝1， 2a4b2
又a－b＝c，所以a＝4，b＝1. 所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4(2)存在定点Q?
x2
2
?43?
，0?，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称． ?3?
??x＋my－3＝0，
设直线l的方程为x＋my－3＝0，与椭圆C的方程联立得?x22
＋y＝1，??4
(4＋m)y－23my－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)(依题意t≠x1，t≠x2)． 23m－1
由根与系数的关系可得，y1＋y2＝2，y1y2＝2.
4＋m4＋m2
2
整理得，
直线QA与直线QB恰关于x轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数， 所以
y1
x1－tx2－t＋
y2
＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0.
又x1＋my1－3＝0，x2＋my2－3＝0， 所以y1(3－my2－t)＋y2(3－my1－t)＝0， 整理得，(3－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0， 23m－1
从而可得，(3－t)·2－2m·2＝0，
4＋m4＋m即2m(4－3t)＝0，
43?43?
所以当t＝，即Q?，0?时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称．
3?3?特别地，当直线l为x轴时，Q?
?43?
，0?也符合题意． ?3?
?43?
，0?，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称． ?3?
综上所述，在x轴上存在定点Q?
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