1
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
m当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
x＝my－2，??22
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得?xy
＋＝1.??62
消去x，得(m＋3)y－4my－2＝0，
22
其判别式Δ＝16m＋8(m＋3)>0. 所以y1＋y2＝
4m－2
，y1y2＝2， m＋3m＋3
22
2
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝2.
m＋3
－62m??，设M为PQ的中点，则M点的坐标为?22?. ?m＋3m＋3?所以直线OM的斜率kOM＝－，
3又直线OT的斜率kOT＝－，
3所以点M在直线OT上， 因此OT平分线段PQ. ②由①可得，
|TF|＝m＋1，
22
|PQ|＝（x1－x2）＋（y1－y2）
22
＝（m＋1）[（y1＋y2）－4y1y2] ＝
2－12
mm??4m?2－2?（m＋1）??2?－422?
m＋3???m＋3?
22
24（m＋1）
＝. m2＋3|TF|所以＝
|PQ|
1（m＋3）2＝ 24m2＋1
13
（4＋4）＝. 243
2241?2
m＋1＋2＋4?≥?m＋1?24??当且仅当m＋1＝
2
2
4|TF|
，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值． m＋1|PQ|
|TF|
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
|PQ|
y2
14．[20142安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭
b2
圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
322
14．x＋y＝1 [解析]
2
设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝1－b，
2
则可设A(c，b)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，
5x0＝－c，23??－2c＝3x0＋3c，25（1－b）12→→2
可得AF1＝3F1B，故?2即代入椭圆方程可得＋b＝1，解得b99?－b＝3y0，12?
y0＝－b，
3
2?????
2
23y2
＝，故椭圆方程为x＋＝1. 32
19．、、[20142北京卷] 已知椭圆C：x＋2y＝4. (1)求椭圆C的离心率；
22
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x＋y＝2的位置关系，并证明你的结论．
19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
42所以a＝4，b＝2，从而c＝a－b＝2. 因此a＝2，c＝2.
2. 2
22
(2)直线AB与圆x＋y＝2相切．证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)， 其中x0≠0.
故椭圆C的离心率e＝＝→→
因为OA⊥OB，所以OA2OB＝0， 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0
. 2
2
2
2
2
2
2
x2y2
cax0
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，
2
得t＝±2，
故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2，
22
此时直线AB与圆x＋y＝2相切． 当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝
t2
y0－2
(x－t)， x0－t即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离
|2x0－ty0|
d＝. 22
（y0－2）＋（x0－t）2y022
又x0＋2y0＝4，t＝－，故
x0
d＝＝x＋y＋2＋4
20
20
?2x0＋2y0??x0???
x0
2
?4＋x0??x0???
2x40＋8x0＋16
22x0
2
4y0
2
＝2.
此时直线AB与圆x＋y＝2相切．
9．、[20142福建卷] 设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y＝1上的点，则P，Q两点间的最
10大距离是( )
A．52 B.46＋2 C．7＋2 D．62
22
9．D [解析] 设圆心为点C，则圆x＋(y－6)＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝2.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则＋y0＝1，即x0＝10－10y0，
10
∴|CQ|＝10－10y＋（y0－6）＝－9y－12y0＋46＝2
当y0＝－时，|CQ|有最大值5
3则P，Q两点间的最大距离为5
2， 2＋r＝6
2.
20
2
202
2
22
x2
2
x20
222
2??－9?y0＋?＋50，
3??
2
x2y25
20．、[20142广东卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为.
ab3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
π
9．、[20142湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，
3
则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
4323A. B. C．3 D．2
33
9．A [解析] 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、
222
双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a1＝r1＋r2
222222222
＋2r1r2，4a2＝r1－2r1r2＋r2.又由余弦定理得4c＝r1＋r2－r1r2，消去r1r2，得a1＋3a2＝4c，
11?2?113?2?13??1?1613?即2＋2＝4.所以由柯西不等式得?＋?＝?＋3?≤?2＋2??1＋?＝.
e1e2?e1e2??e13e2??e1e2??3?3
1143所以＋≤.故选A.
e1e23
x2y2
21．、、、[20142湖南卷] 如图1-7，O为坐标原点，椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为
abx2y23
F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：2－2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|
ab2
＝3－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
图1-7 3a2－b2a2＋b23344422
21．解： (1)因为e1e2＝，所以2＝，即a－b＝a，因此a＝2b，从而F2(b，
2aa24
0)，
F4(3b，0)，于是3b－b＝|F2F4|＝3－1，所以b＝1，a＝2.故C1，C2的方程分别为＋y＝1，－
2
2
2
x2
2
x2
y＝1.
2
x＝my－1，??2
2
(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由?x得(m2
＋y＝1??2
＋2)y－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y22m－1＝2，y1y2＝2. m＋2m＋2
m?－4m?－2
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝2，于是AB的中点为M?2，2?，故直线PQ的斜率为－，PQm＋22?m＋2m＋2?的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
2
2
mmy＝－x，??24m由?得(2－m)x＝4，所以2－m>0，且x＝，y＝，从而|PQ|＝22－m2－mx??2－y＝1
2
2
2
2
2
2
2
222
x＋y＝222
m2＋4
2.2－m|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|
设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，
m2＋4
B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2
2
（m＋2）|y1－y2|
－2y2|，从而2d＝. m2＋4
2221＋m2221＋m又因为|y1－y2|＝（y1＋y2）－4y1y2＝，所以2d＝. 2
m＋2m2＋4
2
2
2
12221＋m故四边形APBQ的面积S＝|PQ|22d＝＝2222
22－m
2
3
－1＋2.
2－m
