∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是
1． 故选B． 3点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．
（2012年吉林省，第25题、10分．）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为t s,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm2． （1）当t=_____s时，点P与点Q重合； （2）当t=_____s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q, B两点之间（不包括 Q, B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
【解析】(1)由于P, Q的运动速度相同都是1cm/s，所以P, Q重合的点是AB的中点． (2) 由QF‖BC可证△AQF∽△ABC,得出比例式，问题得证．∽ （2） 要分两种情况：①当1＜t?△FAQ和△AQF∽△ABC. 4时，重合部分的图形是直角梯形．确定上下底和高．需证△FEG∽3②当＜t＜2时，重合部分的图形是六边形．它的面积S?S ?S?S△AQF△DHG正方形APDE3【答案】
（1）∵P, Q的运动速度都是1cm/s, ∴P, Q在AB的中点重合． ∴当t=1s时，P, Q重合． （2） ∵QF‖AC
4第25页（共31页）
∴AFAC?AQAB 即AF2?t4?2 ∴AF=4-2t 又DP‖AF ∴
DPPQAF?AQ 即t2?2t4?2t?2?t t?45
3）①当1＜t≤43时，如图1、图2.
∵FQ‖BC ∴
AFAQAC?AB 即AF=4-2t，EF=4-3t 又DE‖AB
∴△FEG∽△FAQ得，
EGFEAQ?FAEG4?2?t?3t2(2?t) EG=?32t?2 ∴GD=t-(?32t?2)=52t?2
QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2 S=
94t2?2t 第26页（共31页）（
CCFEAGDE(F)DQP图1BAQ图2PB
②当＜t＜2时，由△AFQ∽△ABC得，
43AFAQ?,AF=4-2x. ACAB∴
S△AQF?1(4?2t)(2?t)2
13t，HD=t?2；△BPG∽△BAC,得PG=4-2t，DG=t-(4-2t)=3t-4 22?(2?t)2同理由△CEH∽△CBA可得EH=1?∴S=S?S正方形APDE?S△AQF?S△DHG =t? =-C2113(2?t)2?(3t?4)(t?2) 22292t?10t?8 4EFAQHD GPB图3
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及正方形的性质，利用分类讨论思想进行分析即可得出答案是解题关键．
（2012陕西18，6分）如图，在?ABCD中，?ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F． （1）求证：AB?AF；
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（2）当AB?3，BC?5时，求
AE的值． ACAEAE，再求. ECAC【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由△AEF∽△CEB先求出【答案】解：（1）如图，在?ABCD中，AD//BC， ∴?2??3．
∵BF是?ABC的平分线， ∴?1??2． ∴?1??3． ∴AB?AF．
（2）??AEF??CEB，?2??3， ∴△AEF∽△CEB，
AEAF3??， ECBC5AE3∴?． AC8∴
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、
似三角形的性质等.难度中等.
（2012陕西 25，12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN''''，且使正方形EFPN''''的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形EFPN''''的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 【解析】（1）连接AP并延长交AC于点P'，这是画图关键.
（2）利用等边三角形、正方形、30°锐角的直角三角形性质列方程求解.
（3）用两个正方形的边长的代数式表示出它们的面积和，再求最大值和最小值. 【答案】解：（1）如图①，正方形EFPN''''即为所求． （2）设正方形EFPN''''的边长为x． ∵△ABC为正三角形， ∴AE'=BF'=等角对等边、相
3x． 3第28页（共31页）
